Se integrala^b f(x) d x=a-b, então quanto vale 12 integrala^b(f(x)+5) d x ? (Resposta: 2 b-3 a )
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A função densidade normal de probabilidade é dada por G(x)=1raiz2 pi integral0^x e^-t^2 / 2 d t. Ache G^prime(x). (Resposta: 1raiz2 pi e^-x^2 / 2 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função de densidade normal de probabilidade, que é uma função importante em estatística e probabilidade. A função é dada por:
G(x) = 1raiz2 pi integral0^x e^-t^2 / 2 , dt
Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função, ou seja, . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente o teorema fundamental do cálculo, que relaciona integrais e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que diz o teorema fundamental do cálculo. Ele tem duas partes principais, mas a que a gente vai usar aqui é a seguinte:
Se F'(x) = f(x) , então a derivada de em relação a é igual a . Em outras palavras:
Isso significa que, se a gente tem uma função definida como a integral de outra função até , a derivada dessa função será simplesmente a função dentro da integral avaliada em .

Passo 3

Aplicando esse teorema à nossa função G(x) = 1raiz2 pi integral0^x e^-t^2 / 2 , dt , temos:
G'(x) = 1raiz2 pi cdot e^-x^2 / 2
Aqui, a função dentro da integral é . Segundo o teorema, a derivada de será essa função multiplicada pela constante que está fora da integral. Ou seja:

Resposta

Portanto, a derivada de G^prime(x) = 1raiz2 pi , e^-x^2 / 2 é:

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