Na figura ao lado, um pequeno bloco, de massa
, pode deslizar em uma pista sem atrito que forma um loop de raio
. O bloco é liberado a partir do repouso no ponto P , a uma altura
acima do ponto mais baixo do loop. Qual é o módulo da componente (a) horizontal e (b) vertical da força resultante que atua sobre o bloco no ponto Q ? © De que altura h o bloco deveria ser liberado, a partir do repouso, para ficar na iminência de perder contato com a superfície no alto do loop? (Iminência de perder o contato significa que a força normal exercida pelo loop sobre o bloco é nula nesse instante.)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá acontecendo aqui. Temos um bloco de massa
que desliza sem atrito por uma pista que forma um loop com raio
. O bloco é solto do repouso no ponto P, que está a uma altura
acima do ponto mais baixo do loop. A gente precisa descobrir:
a) A componente horizontal da força resultante no ponto Q.
b) A componente vertical da força resultante no ponto Q.
c) De que altura
o bloco deve ser solto para ficar quase perdendo o contato com a pista no alto do loop.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e as leis de Newton para movimentos circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade do bloco no ponto Q usando a conservação de energia. Como não tem atrito, a energia mecânica total é conservada. A energia potencial inicial
no ponto P será convertida em energia cinética
no ponto Q.
A energia potencial no ponto P é:
Como no ponto Q, a altura é
, a energia potencial é:
A energia cinética no ponto Q é:
Pela conservação de energia:
Substituindo:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Agora, resolvemos para
:
Passo 3
Agora, vamos analisar as forças no ponto Q. As duas principais forças atuando são:
- Força peso (
): atua para baixo, com módulo . - Força normal (
): é a força que a pista exerce no bloco, perpendicular à superfície da pista.
Como o bloco está em movimento circular, precisamos da força centrípeta para manter o movimento no loop:
No ponto Q, a força centrípeta é fornecida pela componente da força normal e da força peso. Dependendo da posição de Q, essas componentes variam. Supondo que Q esteja no ponto mais baixo do loop, a força normal e a força peso atuam na mesma direção (para cima).
Então, a força resultante
no ponto Q é:
Igualando à força centrípeta:
Daí, a força normal:
Substituindo
da etapa anterior:
Simplificando:
Assumindo
no ponto mais baixo:
Então, as componentes horizontal e vertical da força resultante no ponto Q são:
- Horizontal: Como no ponto mais baixo, a força é toda na vertical, a componente horizontal é zero.
- Vertical:
Passo 4
Para a parte ©, queremos que o bloco esteja na iminência de perder contato no alto do loop. Isso significa que a força normal
será zero lá.
No alto do loop, as duas forças (peso e normal) atuam na mesma direção (para baixo). A força centrípeta necessária é:
Então:
Cancelando
:
Agora, usamos a conservação de energia novamente para encontrar a altura inicial
:
Substituindo
:
Resposta
(a) A componente horizontal da força resultante no ponto Q é
.
(b) A componente vertical da força resultante no ponto Q é
.
© A altura
que o bloco deve ser liberado para ficar na iminência de perder contato com a superfície no alto do loop é
.