Uma bola rola horizontalmente do alto de uma escada com velocidade v0. Se os degraus têm altura a e largura b. Em qual degrau a bola bate primeiro? Expressar a resposta em termos de v0, a, b e g
(20 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma bola que começa a rolar horizontalmente do topo de uma escada com uma velocidade inicial . Cada degrau da escada tem uma altura e uma largura . A pergunta é: em qual degrau a bola vai bater primeiro? Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, que estuda o movimento dos objetos, e vamos precisar considerar a velocidade inicial, as dimensões dos degraus e a aceleração da gravidade .

Passo 2

Primeiro, vamos separar o movimento da bola em duas direções: horizontal e vertical. Horizontalmente, a bola está se movendo com velocidade constante porque não há aceleração nessa direção (a menos que consideremos resistência do ar, mas vamos ignorar isso para simplificar). Verticalmente, a bola está sob a influência da gravidade, que faz com que ela acelere para baixo com .

Passo 3

Como a bola está rolando horizontalmente, ela vai se mover para frente enquanto cai em direção aos degraus. Queremos descobrir em qual degrau a altura percorrida verticalmente pela bola será igual à altura do degrau . Ou seja, nós queremos encontrar o tempo que a bola leva para cair uma distância e, com esse tempo, calcular quão longe ela teve para percorrer horizontalmente.

Passo 4

Vamos usar as equações da cinemática para isso. Na direção vertical, a distância s = 12 g t^2 percorrida é dada por:
a = 12 g t^2
Queremos que t = raiz2ag , então:
d = v0 t
Resolvendo para d = v0 raiz2ag :
Agora, na direção horizontal, a distância percorrida é:
Substituindo o valor de :

Passo 5

Cada degrau tem uma largura Número do degrau = db = v0 raiz2agb = v0 raiz2ab raizg . Para encontrar em qual degrau a bola irá bater, dividimos a distância horizontal percorrida pela largura do degrau:
ú

Resposta

A bola vai bater no degrau de número:
v0 raiz2ab raizg

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