Na figura 1, três partículas de 0,01 kg foram coladas em uma barra, de comprimento L=6,00 cm e massa desprezível, que pode girar em torno de um eixo perpendicular que passa pelo ponto O em uma das extremidades. Determine o trabalho necessário para mudar a velocidade angular de 40,0 para 60,0 rad / s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma barra com três partículas presas nela e que pode girar em torno de um eixo. A gente precisa descobrir quanto trabalho é necessário para aumentar a velocidade angular dessa barra de para . Pra resolver isso, vamos usar conceitos de energia cinética rotacional e momento de inércia. Primeiro, vamos calcular o momento de inércia do sistema (barra + partículas) e depois a variação da energia cinética rotacional para achar o trabalho necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia ( r = L3 = 0,06 , m3 = 0,02 , m ) do sistema. O momento de inércia é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Como a barra tem massa desprezível, só precisamos considerar as três partículas de I = m cdot r^2 cada.
Vamos supor que as três partículas estão igualmente espaçadas ao longo da barra de Icada = 0,01 , kg times (0,02 , m)^2 = 0,01 times 0,0004 = 0,000004 , kg cdot m^2 (ou Itotal = 3 times 0,000004 = 0,000012 , kg cdot m^2 ). Assim, cada partícula estará a:
A fórmula do momento de inércia para um ponto de massa é:
Calculando para cada partícula:
Como são três partículas:

Passo 3

Agora, vamos calcular a variação da energia cinética rotacional ( K = 12 I omega^2 ). A energia cinética rotacional é dada por:
De
Onde:
  • De é o momento de inércia
  • 60,0^2 = 3600 , rad^2/s^2 é a velocidade angular
A variação da energia cinética quando a velocidade angular muda de 40,0^2 = 1600 , rad^2/s^2 para De é:
Substituindo os valores:
Calculando os quadrados das velocidades angulares:
Então:

Passo 4

O trabalho necessário para mudar a velocidade angular é igual à variação da energia cinética rotacional:
W = De

Resposta

O trabalho necessário para aumentar a velocidade angular de para é de 0,012 Joules.

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