Na figura ao lado, dois blocos de
estão ligados por uma corda, de massa desprezível, que passa por uma polia de
de raio e momento de inércia
. A corda não escorrega na polia; não se sabe se existe atrito entre a mesa e o bloco que escorrega; não há atrito no eixo da polia. Quando o sistema é liberado a partir do repouso, a polia gira de
e a aceleração dos blocos é constante. Determine (a) o módulo da aceleração angular da polia, (b) o módulo da aceleração de cada bloco, © a tração
da corda e (d) a tração
da corda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois blocos de 6,20 kg ligados por uma corda que passa por uma polia. A polia tem um raio de 2,40 cm e momento de inércia de
. A corda não escorrega na polia, e não sabemos se há atrito entre a mesa e os blocos. Quando liberamos o sistema do repouso, a polia começa a girar com aceleração constante. Precisamos determinar:
a) A aceleração angular da polia,
b) A aceleração de cada bloco,
c) A tração da corda,
d) A tração da corda.
a) A aceleração angular da polia,
b) A aceleração de cada bloco,
c) A tração
d) A tração
Vamos usar os conceitos de dinâmica rotacional e translacional para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar a aceleração angular da polia (
) com a aceleração linear dos blocos (
). Sabemos que a aceleração linear é igual ao produto do raio (
) pela aceleração angular:
Aqui, o raio
.
Passo 3
Agora, aplicamos a segunda lei de Newton para cada bloco. Considerando que os blocos têm a mesma massa e estão ligados pela corda, mas agem forças diferentes devido à aceleração da polia.
Para o bloco 1:
Para o bloco 2:
Onde
e
são as trações nas cordas,
, e
.
Passo 4
Além disso, a rotação da polia é causada pela diferença nas trações
. Usamos a segunda lei de Newton para a rotação:
Onde
é o momento de inércia da polia e
é a aceleração angular que queremos encontrar.
Passo 5
Substituímos
na equação de rotação:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
,
,
e
.
Passo 7
Somando as duas primeiras equações:
Comparando com a terceira equação:
Então:
Passo 8
Resolvendo para
:
Parece que houve um erro de sinal. Vamos rever:
Na verdade, a soma das duas primeiras equações nos dá:
E da terceira equação:
Somando essas duas equações:
Isso implica que:
Como
, temos:
Mas isso também não faz sentido fisicamente, indicando que houve um erro na combinação das equações. Vamos resolver de outra maneira.
Passo 9
Vamos expressar
da terceira equação:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Agora, usamos a primeira equação para encontrar
:
Substituímos na equação anterior:
Simplificando:
Isso sugere que
, o que não faz sentido, indicando que houve um erro na abordagem. Vamos reconsiderar.
Passo 10
Vamos tentar outra abordagem. Usando a segunda lei de Newton para a rotação:
E sabendo que
, substituímos:
Agora, das primeiras equações:
Substituindo na equação da rotação:
Agora, podemos resolver para
:
Passo 11
Substituindo os valores:
Resposta
(a) A aceleração angular da polia é aproximadamente
.
(b) A aceleração de cada bloco é
.
© A tração
da corda é:
(d) A tração
da corda é:
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c) Sobral é conhecida por suas chuvas rápidas, mas torrenciais, que caem na região. Estime o volume de água de chuva que é depositada em
quando uma nuvem descarrega chuva por 13 min a uma taxa de 2,0 gotas/segundo.
- Considere que uma nuvem, cuja altura de sua base está a 1450 m acima do solo, comece a precipitar chuva a uma taxa de 1,5 gotas/segundo.
b) se desconsiderarmos os efeitos de resistência do ar e a gota cair em queda livre, em quanto tempo a primeira gota alcança o solo?
Na figura 1, três partículas de
foram coladas em uma barra, de comprimento
e massa desprezível, que pode girar em torno de um eixo perpendicular que passa pelo ponto
em uma das extremidades. Determine o trabalho necessário para mudar a velocidade angular de 20,0 para
.
Na figura 1, três partículas de
foram coladas em uma barra, de comprimento
e massa desprezível, que pode girar em torno de um eixo perpendicular que passa pelo ponto
em uma das extremidades. Determine o trabalho necessário para mudar a velocidade angular de 40,0 para
.