Na figura ao lado, dois blocos de estão ligados por uma corda, de massa desprezível, que passa por uma polia de de raio e momento de inércia . A corda não escorrega na polia; não se sabe se existe atrito entre a mesa e o bloco que escorrega; não há atrito no eixo da polia. Quando o sistema é liberado a partir do repouso, a polia gira de e a aceleração dos blocos é constante. Determine (a) o módulo da aceleração angular da polia, (b) o módulo da aceleração de cada bloco, © a tração da corda e (d) a tração da corda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois blocos de 6,20 kg ligados por uma corda que passa por uma polia. A polia tem um raio de 2,40 cm e momento de inércia de . A corda não escorrega na polia, e não sabemos se há atrito entre a mesa e os blocos. Quando liberamos o sistema do repouso, a polia começa a girar com aceleração constante. Precisamos determinar:
a) A aceleração angular da polia,
b) A aceleração de cada bloco,
c) A tração da corda,
d) A tração da corda.
Vamos usar os conceitos de dinâmica rotacional e translacional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar a aceleração angular da polia ( ) com a aceleração linear dos blocos ( ). Sabemos que a aceleração linear é igual ao produto do raio ( ) pela aceleração angular:
Aqui, o raio .

Passo 3

Agora, aplicamos a segunda lei de Newton para cada bloco. Considerando que os blocos têm a mesma massa e estão ligados pela corda, mas agem forças diferentes devido à aceleração da polia.
Para o bloco 1:
Para o bloco 2:
Onde e são as trações nas cordas, , e .

Passo 4

Além disso, a rotação da polia é causada pela diferença nas trações . Usamos a segunda lei de Newton para a rotação:
Onde é o momento de inércia da polia e é a aceleração angular que queremos encontrar.

Passo 5

Substituímos na equação de rotação:
Simplificando:

Passo 6

Agora, temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar , , e .

Passo 7

Somando as duas primeiras equações:
Comparando com a terceira equação:
Então:

Passo 8

Resolvendo para :
Parece que houve um erro de sinal. Vamos rever:
Na verdade, a soma das duas primeiras equações nos dá:
E da terceira equação:
Somando essas duas equações:
Isso implica que:
Como , temos:
Mas isso também não faz sentido fisicamente, indicando que houve um erro na combinação das equações. Vamos resolver de outra maneira.

Passo 9

Vamos expressar da terceira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:
Agora, usamos a primeira equação para encontrar :
Substituímos na equação anterior:
Simplificando:
Isso sugere que , o que não faz sentido, indicando que houve um erro na abordagem. Vamos reconsiderar.

Passo 10

Vamos tentar outra abordagem. Usando a segunda lei de Newton para a rotação:
E sabendo que , substituímos:
Agora, das primeiras equações:
Substituindo na equação da rotação:
Agora, podemos resolver para :

Passo 11

Substituindo os valores:
, , .

Resposta

(a) A aceleração angular da polia é aproximadamente .
(b) A aceleração de cada bloco é .
© A tração da corda é:
(d) A tração da corda é:

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