Na figura ao lado, dois blocos de 6,20 kg estão ligados por uma corda, de massa desprezível, que passa por uma polia de 2,40 cm de raio e momento de inércia 7,40 times 10^-4 kg cdot m^2. A corda não escorrega na polia; não se sabe se existe atrito entre a mesa e o bloco que escorrega; não há atrito no eixo da polia. Quando o sistema é liberado a partir do repouso, a polia gira de 0,130 radem 91,0 ms e a aceleração dos blocos é constante. Determine (a) o módulo da aceleração angular da polia, (b) o módulo da aceleração de cada bloco, © a tração T1 da corda e (d) a tração T2 da corda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois blocos de 6,20 kg ligados por uma corda que passa por uma polia. A polia tem um raio de 2,40 cm e momento de inércia de . A corda não escorrega na polia, e não sabemos se há atrito entre a mesa e os blocos. Quando liberamos o sistema do repouso, a polia começa a girar com aceleração constante. Precisamos determinar:
a) A aceleração angular da polia,
b) A aceleração de cada bloco,
c) A tração da corda,
d) A tração da corda.
Vamos usar os conceitos de dinâmica rotacional e translacional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar a aceleração angular da polia ( a = alpha cdot r ) com a aceleração linear dos blocos ( ). Sabemos que a aceleração linear é igual ao produto do raio ( ) pela aceleração angular:
Aqui, o raio .

Passo 3

Agora, aplicamos a segunda lei de Newton para cada bloco. Considerando que os blocos têm a mesma massa e estão ligados pela corda, mas agem forças diferentes devido à aceleração da polia.
Para o bloco 1:
T1 - m cdot g = m cdot a
Para o bloco 2:
m cdot g - T2 = m cdot a
Onde e são as trações nas cordas, , e .

Passo 4

Além disso, a rotação da polia é causada pela diferença nas trações (T2 - T1) cdot r = I cdot alpha . Usamos a segunda lei de Newton para a rotação:
Onde é o momento de inércia da polia e é a aceleração angular que queremos encontrar.

Passo 5

Substituímos (T2 - T1) cdot r = I cdot ar na equação de rotação:
(T2 - T1) = I cdot ar^2
Simplificando:

Passo 6

Agora, temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar , , e .

Passo 7

Somando as duas primeiras equações:
(T1 - m cdot g) + (m cdot g - T2) = m cdot a + m cdot a
-T2 + T1 = 2m cdot a
Comparando com a terceira equação:
T2 - T1 = I cdot ar^2
-T2 + T1 = -I cdot ar^2
Então:
2m cdot a = -I cdot ar^2

Passo 8

Resolvendo para 2m cdot a = -I cdot ar^2 :
2m = -Ir^2
-T2 + T1 = 2m cdot a
Parece que houve um erro de sinal. Vamos rever:
Na verdade, a soma das duas primeiras equações nos dá:
T2 - T1 = I cdot ar^2
E da terceira equação:
(-T2 + T1) + (T2 - T1) = 2m cdot a + I cdot ar^2
Somando essas duas equações:
0 = a (2m + Ir^2)
a (2m + Ir^2) = 0
Isso implica que:
2m + Ir^2 = 0
Como , temos:
Mas isso também não faz sentido fisicamente, indicando que houve um erro na combinação das equações. Vamos resolver de outra maneira.

Passo 9

Vamos expressar T2 = T1 + I cdot ar^2 da terceira equação:
m cdot g - (T1 + I cdot ar^2) = m cdot a
Agora, substituímos m cdot g - T1 - I cdot ar^2 = m cdot a na segunda equação:
T1 = m cdot g - m cdot a
m cdot g - (m cdot g - m cdot a) - I cdot ar^2 = m cdot a
Agora, usamos a primeira equação para encontrar m cdot a - I cdot ar^2 = m cdot a :
-I cdot ar^2 = 0
Substituímos na equação anterior:
Simplificando:
Isso sugere que , o que não faz sentido, indicando que houve um erro na abordagem. Vamos reconsiderar.

Passo 10

Vamos tentar outra abordagem. Usando a segunda lei de Newton para a rotação:
(T2 - T1) cdot r = I cdot alpha
(T2 - T1) = I cdot alphar
E sabendo que (T2 - T1) = I cdot ar^2 , substituímos:
(m cdot g + m cdot a) - (m cdot g - m cdot a) = I cdot ar^2
Agora, das primeiras equações:
  1. 2m cdot a = I cdot ar^2
  2. 2m = Ir^2
Substituindo na equação da rotação:
a = 2m cdot r^2I
Agora, podemos resolver para :

Passo 11

Substituindo os valores:
a = 2 cdot 6,20 cdot (0,024)^27,40 times 10^-4 , a = 2 cdot 6,20 cdot 0,0005760,000740 , a = 0,00716160,000740 .
a approx 9,68 , m/s^2

Resposta

(a) A aceleração angular da polia é aproximadamente T1 = m cdot g - m cdot a = 6,20 cdot 9,81 - 6,20 cdot 9,68 approx 60,70 - 60,06 approx 0,64 , N .
(b) A aceleração de cada bloco é T2 = m cdot g + m cdot a = 6,20 cdot 9,81 + 6,20 cdot 9,68 approx 60,70 + 60,06 approx 120,76 , N .
© A tração da corda é:
(d) A tração da corda é:

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