Na figura 1, três partículas de 0,01 kg foram coladas em uma barra, de comprimento L=6,00 cm e massa desprezível, que pode girar em torno de um eixo perpendicular que passa pelo ponto O em uma das extremidades. Determine o trabalho necessário para mudar a velocidade angular de 20,0 para 40,0 rad / s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma barra que pode girar e tem três partículas presas nela. A barra tem 6 cm de comprimento e as partículas têm 0,01 kg cada. O que a gente precisa encontrar é o trabalho necessário para aumentar a velocidade angular de 20 rad/s para 40 rad/s. Vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e energia cinética rotacional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o momento de inércia da barra com as partículas. Como a barra tem massa desprezível, o momento de inércia vem só das partículas. O momento de inércia I = sum m r^2 para cada partícula é dado por:
Assumindo que as três partículas estão distribuídas ao longo da barra nos pontos de 2 cm, 4 cm e 6 cm (ou 0,02 m, 0,04 m e 0,06 m).

Passo 3

Vamos calcular cada termo do momento de inércia:
I1 = 0,01 times (0,02)^2 = 0,01 times 0,0004 = 0,000004 , kgcdotm^2
I2 = 0,01 times (0,04)^2 = 0,01 times 0,0016 = 0,000016 , kgcdotm^2
I3 = 0,01 times (0,06)^2 = 0,01 times 0,0036 = 0,000036 , kgcdotm^2

Passo 4

Agora somamos todos os Itotal = I1 + I2 + I3 = 0,000004 + 0,000016 + 0,000036 = 0,000056 , kgcdotm^2 para obter o momento de inércia total:

Passo 5

A próxima etapa é calcular a energia cinética rotacional antes e depois da mudança na velocidade angular. A fórmula da energia cinética rotacional é:
K = 12 I omega^2
Primeiro, calculamos a energia inicial com Kinicial = 12 times 0,000056 times (20)^2 = 0,000028 times 400 = 0,0112 , J :

Passo 6

Agora, calculamos a energia final com Kfinal = 12 times 0,000056 times (40)^2 = 0,000028 times 1600 = 0,0448 , J :

Passo 7

O trabalho necessário para mudar a velocidade é a diferença entre a energia final e a inicial:
W = Kfinal - Kinicial = 0,0448 - 0,0112 = 0,0336 , J

Resposta

O trabalho necessário para aumentar a velocidade angular de 20 rad/s para 40 rad/s é de 0,0336 J.

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