A fim de determinar a viscosidade de um líquido ( rho=950 kg / m^3 ), você preenche, a uma profundidade de 12 cm , um grande recipiente com drenagem por um tubo vertical de 30 cm de comprimento fixado ao fundo. O diâmetro do tubo é 2 mm , e a taxa de drenagem é 1,9 cm^3 / s. Qual é o valor da viscosidade do fluido? O escoamento no tubo é laminar?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a viscosidade de um líquido com densidade de 950 , kg/m^3. Para isso, temos que usar os dados do recipiente e do tubo de drenagem: profundidade de 12 cm, comprimento do tubo de 30 cm, diâmetro de 2 mm e uma taxa de drenagem de 1,9 , cm^3/s. Vamos precisar de conceitos de fluido em escoamento laminar e da equação de Poiseuille para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as medidas para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos:
  • Profundidade h = 12 , cm = 0,12 , m
  • Comprimento do tubo L = 30 , cm = 0,3 , m
  • Diâmetro do tubo D = 2 , mm = 0,002 , m, então o raio r = D/2 = 0,001 , m
  • Taxa de drenagem Q = 1,9 , cm^3/s = 1,9 times 10^-6 , m^3/s

Passo 3

Agora, vamos usar a equação de Poiseuille para escoamento laminar em um tubo vertical:
Q = pi De
Aqui:
  • Q é a taxa de drenagem,
  • De é a diferença de pressão,
  • r é o raio do tubo,
  • eta é a viscosidade que queremos encontrar,
  • L é o comprimento do tubo.

Passo 4

A diferença de pressão De é causada pela coluna de líquido acima do tubo, que podemos calcular usando:
De
Onde:
  • rho é a densidade do líquido,
  • g é a aceleração da gravidade ( approx 9,81 , m/s^2),
  • h é a profundidade do líquido.

Passo 5

Substituindo De na equação de Poiseuille, temos:
Q = pi rho g h r^48 eta L
Queremos isolar eta, então rearranjamos a equação:
eta = pi rho g h r^48 Q L

Passo 6

Agora, vamos substituir todos os valores na equação:
eta = pi times 950 , kg/m^3 times 9,81 , m/s^2 times 0,12 , m times (0,001 , m)^48 times 1,9 times 10^-6 , m^3/s times 0,3 , m
Vamos calcular isso passo a passo:
  1. Calcular r^4:
(0,001)^4 = 1 times 10^-12 , m^4
  1. Multiplicar os valores no numerador:
pi times 950 times 9,81 times 0,12 times 1 times 10^-12 approx 3,53 times 10^-8
  1. Multiplicar os valores no denominador:
8 times 1,9 times 10^-6 times 0,3 = 4,56 times 10^-6
  1. Dividir numerador pelo denominador:
eta = 3,53 times 10^-84,56 times 10^-6 approx 7,75 times 10^-3 , Pa cdot s

Passo 7

Então, a viscosidade do líquido é aproximadamente 7,75 times 10^-3 , Pa cdot s.

Passo 8

Agora, vamos verificar se o escoamento no tubo é laminar. Para isso, calculamos o número de Reynolds ( Re):
Re = rho v Deta
Onde v é a velocidade média, que podemos encontrar usando:
v = QA = Qpi r^2
Calcular A:
A = pi times (0,001)^2 = 3,14 times 10^-6 , m^2
Calcular v:
v = 1,9 times 10^-63,14 times 10^-6 approx 0,605 , m/s
Agora, calcular Re:
Re = 950 times 0,605 times 0,0027,75 times 10^-3 approx 148

Resposta

A viscosidade do líquido é aproximadamente 7,75 times 10^-3 , Pa cdot s e o escoamento no tubo é laminar.

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