A fim de verificar certas propriedades de algumas medidas numéricas descritivas considere o seguinte conjunto de dados:
.
(b) Some a quantidade 10 em todos os valores desse conjunto de dados e recalcule as medidas citadas no item (a). O que se pode concluir sobre o efeito de somar uma constante c em cada valor dos dados sobre cada uma daquelas medidas?
(b) Some a quantidade 10 em todos os valores desse conjunto de dados e recalcule as medidas citadas no item (a). O que se pode concluir sobre o efeito de somar uma constante c em cada valor dos dados sobre cada uma daquelas medidas?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de dados:
. A tarefa é somar a quantidade 10 a cada valor desse conjunto e recalcular as medidas numéricas descritivas que vimos no item (a). Depois, precisamos entender o que acontece com essas medidas quando adicionamos uma constante
a cada valor dos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos somar 10 a cada número do conjunto de dados original. Isso significa que vamos adicionar 10 a cada valor individualmente.
Original:
Somando 10 a cada valor:
Então, o novo conjunto de dados fica:
Passo 3
Agora, vamos recalcular algumas medidas estatísticas importantes para ambos os conjuntos de dados: o original e o modificado. Vamos ver como a adição de 10 afetou cada uma delas.
Média (Média Aritmética)
A média é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores.
Original:
Modificada:
Observação: A média aumentou exatamente 10, que é a constante que adicionamos.
Mediana
A mediana é o valor do meio quando os dados estão ordenados.
Original:
Dados ordenados:
A mediana é o 4º valor:
Modificada:
Dados ordenados:
A mediana é o 4º valor:
Observação: A mediana também aumentou 10.
Moda
A moda é o valor que aparece com mais frequência.
Original:
Moda:
(aparece 3 vezes)
Modificada:
Moda:
(aparece 3 vezes)
Observação: A moda aumentou 10.
Amplitude
A amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor.
Original:
Modificada:
Observação: A amplitude não mudou; continua sendo 6.
Desvio Padrão
O desvio padrão mede a dispersão dos dados em relação à média.
Original:
Calculando rapidamente, o desvio padrão é aproximadamente
Modificada:
O desvio padrão continua sendo
, já que todas as diferenças em relação à média permanecem as mesmas.
Observação: O desvio padrão não mudou.
Resposta
Ao somar uma constante
a cada valor do conjunto de dados original:
- A média, a mediana e a moda aumentam em
(neste caso, 10). - A amplitude e o desvio padrão permanecem inalterados.
Isso significa que adicionar uma constante
desloca as medidas de tendência central (média, mediana, moda) em
, mas não afeta as medidas de dispersão (amplitude, desvio padrão).
Exercícios relacionados
- Um grupo de estudantes do ensino médio foi submetido a um teste de matemática resultando nos seguintes dados:
Nota | Frequência Absoluta |
---|---|
|
14 |
|
28 |
|
27 |
|
11 |
|
4 |
(a) Complete a tabela de frequências calculando as frequências relativa e acumulada para cada classe. Faça uma análise descritiva dos dados com base na tabela construída.
- Os salários dos funcionários de uma empresa, em milhares de reais, são:
0,8 | 1,0 | 1,0 | 1,1 | 1,3 | 1,3 | 1,4 | 1,5 | 1,5 | 1,6 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1,6 | 1,8 | 1,8 | 1,9 | 1,9 | 1,9 | 2,0 | 2,0 | 2,0 | 2,1 |
2,1 | 2,1 | 2,3 | 2,3 | 2,4 | 2,4 | 2,5 | 2,7 | 2,7 | 2,7 |
2,8 | 2,9 | 2,9 | 3,0 | 3,0 | 3,1 | 3,2 | 3,2 | 3,3 | 3,7 |
3,8 | 3,9 | 4,2 | 4,2 | 4,3 | 4,3 | 4,4 | 4,4 | 4,4 |
(a) Calcule a média, mediana e desvio-padrão para estes dados.
A tabela abaixo mostra o número de meses em que houve aumento do nível de atividade de quinze empresas de porte pequeno
, médio
e grande
, dos setores comercial © e industrial (I).
Empresa | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Meses | 8 | 9 | 4 | 5 | 3 | 6 | 8 | 6 | 6 | 8 | 5 | 5 | 6 | 4 | 4 |
Setor | C | C | I | I | I | C | C | I | I | C | C | I | C | I | I |
Tamanho | G | M | G | M | M | P | G | M | P | M | P | P | M | M | G |
(e) O governo deseja dar um incentivo fiscal para
das empresas correspondendo àquelas com menor crescimento (em meses). Qual é o número máximo de meses apresentando crescimento para que a empresa receba o incentivo fiscal? Que medida descritiva fornece essa informação?
Considere as seguintes alturas dos cascos ( em cm ) de uma amostra de 48 tartarugas pintadas ( 24 machos e 24 fêmeas), onde
representa a frequência absoluta simples,
representa a frequência absoluta acumulada e
representa a frequência relativa simples em porcentagem (use uma casa decimal quando necessário).
Machos | |||
---|---|---|---|
Altura |
|
|
|
35 | 3 | ||
37 | 2 | 5 | |
38 | 2 | 7 | 8,3 |
39 | 3 | ||
40 | 4 | ||
41 | 3 | ||
42 | 2 | ||
44 | 2 | ||
45 | 2 | ||
50 | 1 | 24 | 4,2 |
Total | 24 | - | 100 |
Fêmeas
Altura |
|
|
|
---|---|---|---|
42 | 1 | 1 | 4,2 |
44 | 2 | 3 | 8,3 |
46 | 3 | 6 | |
48 | 3 | ||
51 | 4 | 13 | |
53 | 17 | ||
56 | 2 | 19 | |
59 | 2 | 21 | |
61 | 2 | 23 | |
65 | 1 | 24 | |
Total | 24 | - | 100 |
© Com base apenas nas estatísticas descritivas apresentadas na tabela do item (b), qual é, aproximadamente, a proporção de tartarugas fêmeas com altura do casco entre 56 cm e 65 cm ? Justifique.