Um grupo de estudantes do ensino médio foi submetido a um teste de matemática resultando nos seguintes dados:
Nota | Frequência Absoluta |
---|---|
|
14 |
|
28 |
|
27 |
|
11 |
|
4 |
© Calcule a nota média, mediana, a variância e o desvio padrão das notas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de estatística juntos! A questão nos dá uma distribuição de notas de um teste de matemática e pede para calcularmos a média, a mediana, a variância e o desvio padrão das notas. Vamos precisar usar conceitos de medidas de tendência central e de dispersão para chegar nas respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média das notas. A média é o valor que representa o centro dos dados. Para isso, vamos multiplicar o ponto médio de cada intervalo pela sua frequência, somar tudo e dividir pela quantidade total de estudantes.
Passo 3
Vamos identificar os pontos médios de cada intervalo:
- [0,2): ponto médio = 1
- [2,4): ponto médio = 3
- [4,6): ponto médio = 5
- [6,8): ponto médio = 7
- [8,10): ponto médio = 9
Agora, multiplicamos cada ponto médio pela sua frequência:
- 1 × 14 = 14
- 3 × 28 = 84
- 5 × 27 = 135
- 7 × 11 = 77
- 9 × 4 = 36
Somando esses valores: 14 + 84 + 135 + 77 + 36 = 346
A quantidade total de estudantes é: 14 + 28 + 27 + 11 + 4 = 84
Então, a média é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a mediana, que é o valor central dos dados quando eles estão ordenados. Com 84 estudantes, a mediana estará entre a 42ª e a 43ª posição.
Vamos acumular as frequências para identificar em qual intervalo está a mediana:
- Até [0,2): 14
- Até [2,4): 14 + 28 = 42
- Até [4,6): 42 + 27 = 69
- Até [6,8): 69 + 11 = 80
- Até [8,10): 80 + 4 = 84
A mediana está no intervalo [2,4), pois a posição 42 está nesse intervalo.
Usamos a fórmula da mediana para dados agrupados:
Onde:
-
= limite inferior da classe mediana = 2 -
= número total de observações = 84 -
= frequência acumulada antes da classe mediana = 14 -
= frequência da classe mediana = 28 -
= amplitude da classe = 2
Substituindo:
Passo 5
Vamos calcular agora a variância e o desvio padrão, que nos mostram como as notas estão dispersas em relação à média.
Primeiro, precisamos calcular a média que já encontramos (
).
A fórmula da variância é:
Onde:
-
= frequência de cada classe -
= ponto médio de cada classe -
= média -
= total de observações
Vamos calcular
para cada classe:
- [0,2):
- [2,4):
- [4,6):
- [6,8):
- [8,10):
Agora, multiplicamos cada resultado pela frequência:
- 9,73 × 14 ≈ 136,22
- 1,245 × 28 ≈ 34,86
- 0,764 × 27 ≈ 20,63
- 8,295 × 11 ≈ 91,245
- 24,617 × 4 ≈ 98,468
Somando tudo: 136,22 + 34,86 + 20,63 + 91,245 + 98,468 ≈ 381,406
Então, a variância é:
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Resposta
A nota média é aproximadamente 4,119, a mediana é 4, a variância é aproximadamente 4,544 e o desvio padrão é aproximadamente 2,131.