Um grupo de estudantes do ensino médio foi submetido a um teste de matemática resultando nos seguintes dados:
Nota Frequência Absoluta
14
28
27
11
4
© Calcule a nota média, mediana, a variância e o desvio padrão das notas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de estatística juntos! A questão nos dá uma distribuição de notas de um teste de matemática e pede para calcularmos a média, a mediana, a variância e o desvio padrão das notas. Vamos precisar usar conceitos de medidas de tendência central e de dispersão para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média das notas. A média é o valor que representa o centro dos dados. Para isso, vamos multiplicar o ponto médio de cada intervalo pela sua frequência, somar tudo e dividir pela quantidade total de estudantes.

Passo 3

Vamos identificar os pontos médios de cada intervalo:
  • [0,2): ponto médio = 1
  • [2,4): ponto médio = 3
  • [4,6): ponto médio = 5
  • [6,8): ponto médio = 7
  • [8,10): ponto médio = 9
Agora, multiplicamos cada ponto médio pela sua frequência:
  • 1 × 14 = 14
  • 3 × 28 = 84
  • 5 × 27 = 135
  • 7 × 11 = 77
  • 9 × 4 = 36
Somando esses valores: 14 + 84 + 135 + 77 + 36 = 346
A quantidade total de estudantes é: 14 + 28 + 27 + 11 + 4 = 84
Então, a média é: é

Passo 4

Agora, vamos encontrar a mediana, que é o valor central dos dados quando eles estão ordenados. Com 84 estudantes, a mediana estará entre a 42ª e a 43ª posição.
Vamos acumular as frequências para identificar em qual intervalo está a mediana:
  • Até [0,2): 14
  • Até [2,4): 14 + 28 = 42
  • Até [4,6): 42 + 27 = 69
  • Até [6,8): 69 + 11 = 80
  • Até [8,10): 80 + 4 = 84
A mediana está no intervalo [2,4), pois a posição 42 está nesse intervalo.
Usamos a fórmula da mediana para dados agrupados:
Onde:
  • = limite inferior da classe mediana = 2
  • = número total de observações = 84
  • = frequência acumulada antes da classe mediana = 14
  • = frequência da classe mediana = 28
  • = amplitude da classe = 2
Substituindo:

Passo 5

Vamos calcular agora a variância e o desvio padrão, que nos mostram como as notas estão dispersas em relação à média.
Primeiro, precisamos calcular a média que já encontramos ( ).
A fórmula da variância é:
Onde:
  • = frequência de cada classe
  • = ponto médio de cada classe
  • = média
  • = total de observações
Vamos calcular para cada classe:
  • [0,2):
  • [2,4):
  • [4,6):
  • [6,8):
  • [8,10):
Agora, multiplicamos cada resultado pela frequência:
  • 9,73 × 14 ≈ 136,22
  • 1,245 × 28 ≈ 34,86
  • 0,764 × 27 ≈ 20,63
  • 8,295 × 11 ≈ 91,245
  • 24,617 × 4 ≈ 98,468
Somando tudo: 136,22 + 34,86 + 20,63 + 91,245 + 98,468 ≈ 381,406
Então, a variância é:
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

Resposta

A nota média é aproximadamente 4,119, a mediana é 4, a variância é aproximadamente 4,544 e o desvio padrão é aproximadamente 2,131.

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Dada a seguinte distribuição de frequências relativas
Classes da Variável Frequência Relativa
0,22
0,18
0,40
Total 1,00
(b) O tamanho total da amostra é 200. Qual é a frequência absoluta da classe D?
São apresentados abaixo o diâmetro (em polegadas), a altura (em pés) e o volume (em pés cúbicos) de uma amostra de 10 cerejeiras:
Diâmetro 8,3 10,5 10,8 11,1 12,0 13,3 14,5 16,3 17,5 18,0
Altura 70 72 83 80 75 86 74 77 82 80
Volume 10,3 16,4 19,7 22,6 19,1 27,4 38,3 42,6 55,7 51,5
(b) Calcule média e desvio-padrão para as variáveis Altura e Volume. Qual das duas variáveis tem maior homogeneidade nos valores observados? Utilize uma medida apropriada para comparação de dispersão: o coeficiente de variação!
Considere as seguintes alturas dos cascos ( em cm ) de uma amostra de 48 tartarugas pintadas ( 24 machos e 24 fêmeas), onde representa a frequência absoluta simples, representa a frequência absoluta acumulada e representa a frequência relativa simples em porcentagem (use uma casa decimal quando necessário).
Machos
Altura
35 3
37 2 5
38 2 7 8,3
39 3
40 4
41 3
42 2
44 2
45 2
50 1 24 4,2
Total 24 - 100
Fêmeas
Altura
42 1 1 4,2
44 2 3 8,3
46 3 6
48 3
51 4 13
53 17
56 2 19
59 2 21
61 2 23
65 1 24
Total 24 - 100
(b) Complete a seguinte tabela de estatísticas descritivas para a variável Grupo Média Mediana Desvio-padrão Min Max
:—: :—: :—: :—: :—: :—: :—: :—: :—:
Machos 40 35 50
Fêmeas 6,1 56 65
A fim de verificar certas propriedades de algumas medidas numéricas descritivas considere o seguinte conjunto de dados: .
© Multiplique a quantidade 10 em todos os valores desses dados e recalcule as medidas citadas no item (a). O que se pode concluir sobre o efeito de multiplicar uma constante c em cada valor dos dados sobre cada uma daquelas medidas?