Um grupo de estudantes do ensino médio foi submetido a um teste de matemática resultando nos seguintes dados:
Nota Frequência Absoluta
[0,2) 14
[2,4) 28
[4,6) 27
[6,8) 11
[8,10) 4
© Calcule a nota média, mediana, a variância e o desvio padrão das notas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de estatística juntos! A questão nos dá uma distribuição de notas de um teste de matemática e pede para calcularmos a média, a mediana, a variância e o desvio padrão das notas. Vamos precisar usar conceitos de medidas de tendência central e de dispersão para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média das notas. A média é o valor que representa o centro dos dados. Para isso, vamos multiplicar o ponto médio de cada intervalo pela sua frequência, somar tudo e dividir pela quantidade total de estudantes.

Passo 3

Vamos identificar os pontos médios de cada intervalo:
  • [0,2): ponto médio = 1
  • [2,4): ponto médio = 3
  • [4,6): ponto médio = 5
  • [6,8): ponto médio = 7
  • [8,10): ponto médio = 9
Agora, multiplicamos cada ponto médio pela sua frequência:
  • 1 × 14 = 14
  • 3 × 28 = 84
  • 5 × 27 = 135
  • 7 × 11 = 77
  • 9 × 4 = 36
Somando esses valores: 14 + 84 + 135 + 77 + 36 = 346
A quantidade total de estudantes é: 14 + 28 + 27 + 11 + 4 = 84
Então, a média é: é

Passo 4

Agora, vamos encontrar a mediana, que é o valor central dos dados quando eles estão ordenados. Com 84 estudantes, a mediana estará entre a 42ª e a 43ª posição.
Vamos acumular as frequências para identificar em qual intervalo está a mediana:
  • Até [0,2): 14
  • Até [2,4): 14 + 28 = 42
  • Até [4,6): 42 + 27 = 69
  • Até [6,8): 69 + 11 = 80
  • Até [8,10): 80 + 4 = 84
A mediana está no intervalo [2,4), pois a posição 42 está nesse intervalo.
Usamos a fórmula da mediana para dados agrupados:
Mediana = L + ( N2 - Ff ) times c
Onde:
  • Mediana = 2 + ( 42 - 1428 ) times 2 = limite inferior da classe mediana = 2
  • Mediana = 2 + ( 2828 ) times 2 = número total de observações = 84
  • Mediana = 2 + 1 times 2 = 4 = frequência acumulada antes da classe mediana = 14
  • = frequência da classe mediana = 28
  • = amplitude da classe = 2
Substituindo:

Passo 5

Vamos calcular agora a variância e o desvio padrão, que nos mostram como as notas estão dispersas em relação à média.
Primeiro, precisamos calcular a média que já encontramos ( sigma^2 = sumf (m - barx)^2N ).
A fórmula da variância é:
sigma^2 = 381,40684 approx 4,544
Onde:
  • sigma = raiz4,544 approx 2,131 = frequência de cada classe
  • = ponto médio de cada classe
  • = média
  • = total de observações
Vamos calcular para cada classe:
  • [0,2):
  • [2,4):
  • [4,6):
  • [6,8):
  • [8,10):
Agora, multiplicamos cada resultado pela frequência:
  • 9,73 × 14 ≈ 136,22
  • 1,245 × 28 ≈ 34,86
  • 0,764 × 27 ≈ 20,63
  • 8,295 × 11 ≈ 91,245
  • 24,617 × 4 ≈ 98,468
Somando tudo: 136,22 + 34,86 + 20,63 + 91,245 + 98,468 ≈ 381,406
Então, a variância é:
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

Resposta

A nota média é aproximadamente 4,119, a mediana é 4, a variância é aproximadamente 4,544 e o desvio padrão é aproximadamente 2,131.

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