Uma fina barra de dielétrico de seção reta
estende-se ao longo do eixo
de
a
. A polarizaçâo da barra dá-se ao longo de seu comprimento e é dada por
. Encontre a densidade volumétrica da carga de polarização e a carga superficial de polarização em cada extremidade. Demonstre explicitamente que a carga total de polarização se anula neste caso.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma barra dielétrica fina com seção reta
que vai do ponto
até
no eixo
. A polarização dessa barra está ao longo do seu comprimento e é dada por
. O que precisamos encontrar é:
- A densidade volumétrica da carga de polarização (
). - A carga superficial de polarização em cada extremidade da barra.
- Mostrar que a carga total de polarização é nula.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre polarização em materiais dielétricos. Vamos dividir a resolução em passos para facilitar o entendimento.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a densidade volumétrica da carga de polarização (
). A densidade de carga de polarização é dada pela divergência negativa do vetor polarização:
Como a polarização
está apenas na direção
e depende de
, a divergência simplifica para:
Dado que
, vamos derivar em relação a
:
Portanto, a densidade volumétrica da carga de polarização é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a carga superficial de polarização em cada extremidade da barra. A carga superficial de polarização (
) é dada pelo produto da polarização pelo vetor normal à superfície:
Para a extremidade em
, o vetor normal
aponta na direção positiva de
, então:
Para a extremidade em
, o vetor normal
aponta na direção negativa de
, então:
Portanto, as cargas superficiais de polarização são
em
e
em
.
Passo 4
Agora, vamos demonstrar que a carga total de polarização se anula. A carga total de polarização (
) é a soma da carga volumétrica e das cargas superficiais:
Substituindo
,
e
:
Vamos calcular a integral:
Agora, somando as cargas superficiais:
Então, o total fica:
Isso mostra que a carga total de polarização é zero.
Resposta
A densidade volumétrica da carga de polarização é
. As cargas superficiais de polarização são
em
e
em
. Além disso, a carga total de polarização se anula, ou seja,
.