Uma fina barra de dielétrico de seção reta A estende-se ao longo do eixo x de x=0 a x=L. A polarizaçâo da barra dá-se ao longo de seu comprimento e é dada por Px=a x^2+b. Encontre a densidade volumétrica da carga de polarização e a carga superficial de polarização em cada extremidade. Demonstre explicitamente que a carga total de polarização se anula neste caso.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma barra dielétrica fina com seção reta que vai do ponto até no eixo . A polarização dessa barra está ao longo do seu comprimento e é dada por . O que precisamos encontrar é:
  1. A densidade volumétrica da carga de polarização ( ).
  2. A carga superficial de polarização em cada extremidade da barra.
  3. Mostrar que a carga total de polarização é nula.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre polarização em materiais dielétricos. Vamos dividir a resolução em passos para facilitar o entendimento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a densidade volumétrica da carga de polarização ( rhop = -nabla cdot P ). A densidade de carga de polarização é dada pela divergência negativa do vetor polarização:
rhop = -dPxdx
Como a polarização dPxdx = ddx(a x^2 + b) = 2a x está apenas na direção rhop = -2a x e depende de , a divergência simplifica para:
Dado que , vamos derivar em relação a :
Portanto, a densidade volumétrica da carga de polarização é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a carga superficial de polarização em cada extremidade da barra. A carga superficial de polarização ( sigmap = P cdot n ) é dada pelo produto da polarização pelo vetor normal à superfície:
sigmap(L) = Px(L) cdot 1 = a L^2 + b
Para a extremidade em sigmap(0) = Px(0) cdot (-1) = -(a cdot 0^2 + b) = -b , o vetor normal aponta na direção positiva de , então:
Para a extremidade em , o vetor normal aponta na direção negativa de , então:
Portanto, as cargas superficiais de polarização são em e em .

Passo 4

Agora, vamos demonstrar que a carga total de polarização se anula. A carga total de polarização ( Qtotal = integral0^L rhop cdot A , dx + sigmap(L) cdot A + sigmap(0) cdot A ) é a soma da carga volumétrica e das cargas superficiais:
Qtotal = integral0^L (-2a x) cdot A , dx + (a L^2 + b) cdot A + (-b) cdot A
Substituindo integral0^L (-2a x) cdot A , dx = -2a A integral0^L x , dx = -2a A [ x^22 ]0^L = -2a A cdot L^22 = -a A L^2 , (a L^2 + b) cdot A + (-b) cdot A = a A L^2 + b A - b A = a A L^2 e Qtotal = -a A L^2 + a A L^2 = 0 :
Vamos calcular a integral:
Agora, somando as cargas superficiais:
Então, o total fica:
Isso mostra que a carga total de polarização é zero.

Resposta

A densidade volumétrica da carga de polarização é . As cargas superficiais de polarização são em e em . Além disso, a carga total de polarização se anula, ou seja, .

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