Uma partícula de massa m, que se desloca na direção x, encontra-se confinada em um poço de potencial infinito, entre x=0 e x=L. De modo que a função de onda para qualquer autoestado estacionário de energia da partícula é dada por
psi(x)= raiz2L sin (n pi xL) & (0L)
com autovalores de energia
En=n^2 pi^2 hbar^22 m L^2 n=1,2,3, ldots
Determine:
(a) Os valores médios da posição e do momentum, lang<= xrang<=n elang<= prang<=n, para seus autoestados estacionários de energia;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula com massa que está confinada em um poço de potencial infinito, ou seja, ela só pode se mover entre e . A gente tem as funções de onda para os autoestados estacionários de energia, que são soluções das equações de Schrödinger para esse sistema, e também os autovalores de energia correspondentes. O que precisamos fazer aqui é encontrar os valores médios (expectativas) da posição e do momentum para esses autoestados. Para isso, vamos usar os conceitos de integração das funções de onda e operadores em mecânica quântica.

Passo 2

Vamos começar calculando o valor médio da posição, lang<= x rang<=n = integral0^L psin^*(x) , x , psin(x) , dx . Em mecânica quântica, o valor médio de uma observável, como a posição, é dado pela integral da função de onda multiplicada pela posição e pela função de onda complexa. Matematicamente, isso fica:
lang<= x rang<=n = integral0^L psin(x) , x , psin(x) , dx = integral0^L |psin(x)|^2 x , dx
Como as funções de onda são reais nesse caso (não têm parte imaginária), o complexo conjugado é igual a . Então, a expressão simplifica para:

Passo 3

Agora, substituímos a expressão de psin(x) = raiz2L sin(npi xL) na integral:
|psin(x)|^2 = (raiz2L sin(npi xL))^2 = 2L sin^2(npi xL)
Então,
lang<= x rang<=n = 2L integral0^L x sin^2(npi xL) dx
Substituindo na integral:
sin^2(a) = 1 - cos(2a)2
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
lang<= x rang<=n = 2L integral0^L x (1 - cos(2npi xL)2) dx = 1L integral0^L x (1 - cos(2npi xL)) dx
Aplicando isso:
lang<= x rang<=n = 1L [ integral0^L x , dx - integral0^L x cos(2npi xL) dx ]
Essa integral pode ser separada em duas partes:
integral0^L x , dx = L^22
A primeira integral é trivial:
lang<= x rang<=n = 1L ( L^22 - 0 ) = L2
A segunda integral, devido à simetria e periodicidade da função cosseno sobre o intervalo a , resulta em zero. Portanto:

Passo 4

Agora vamos calcular o valor médio do momentum, p = -ihbar ddx . Em mecânica quântica, o operador do momentum é dado por:
lang<= p rang<=n = integral0^L psin^*(x) , p , psin(x) , dx = -ihbar integral0^L psin(x) ddx psin(x) , dx
Então, o valor médio do momentum é:

Passo 5

Substituindo ddx psin(x) = raiz2L cdot npiL cos(npi xL) :
lang<= p rang<=n = -ihbar raiz2L integral0^L sin(npi xL) cdot npiL cos(npi xL) dx
Então,
lang<= p rang<=n = -ihbar npiL cdot 2L integral0^L sin(npi xL) cos(npi xL) dx
Simplificando:
sin(a)cos(a) = sin(2a)2
Usamos a identidade trigonométrica:
lang<= p rang<=n = -ihbar npiL cdot 2L cdot 12 integral0^L sin(2npi xL) dx = -ihbar npiL^2 integral0^L sin(2npi xL) dx
Aplicando:
lang<= p rang<=n = 0
A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero, e neste caso, a integral de de a também é zero. Portanto:

Resposta

Para qualquer autoestado estacionário de energia lang<= x rang<=n = L2 e lang<= p rang<=n = 0 , temos que:

Exercícios relacionados