Uma partícula de massa , que se desloca na direção , encontra-se confinada em um poço de potencial infinito, entre e . De modo que a função de onda para qualquer autoestado estacionário de energia da partícula é dada por
com autovalores de energia
Determine:
(a) Os valores médios da posição e do momentum, , para seus autoestados estacionários de energia;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula com massa que está confinada em um poço de potencial infinito, ou seja, ela só pode se mover entre e . A gente tem as funções de onda para os autoestados estacionários de energia, que são soluções das equações de Schrödinger para esse sistema, e também os autovalores de energia correspondentes. O que precisamos fazer aqui é encontrar os valores médios (expectativas) da posição e do momentum para esses autoestados. Para isso, vamos usar os conceitos de integração das funções de onda e operadores em mecânica quântica.

Passo 2

Vamos começar calculando o valor médio da posição, . Em mecânica quântica, o valor médio de uma observável, como a posição, é dado pela integral da função de onda multiplicada pela posição e pela função de onda complexa. Matematicamente, isso fica:
Como as funções de onda são reais nesse caso (não têm parte imaginária), o complexo conjugado é igual a . Então, a expressão simplifica para:

Passo 3

Agora, substituímos a expressão de na integral:
Então,
Substituindo na integral:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Essa integral pode ser separada em duas partes:
A primeira integral é trivial:
A segunda integral, devido à simetria e periodicidade da função cosseno sobre o intervalo a , resulta em zero. Portanto:

Passo 4

Agora vamos calcular o valor médio do momentum, . Em mecânica quântica, o operador do momentum é dado por:
Então, o valor médio do momentum é:

Passo 5

Substituindo :
Então,
Simplificando:
Usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando:
A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero, e neste caso, a integral de de a também é zero. Portanto:

Resposta

Para qualquer autoestado estacionário de energia , temos que:

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O estado inicial de uma partícula de massa , confinada no intervalo , em um campo conservativo, é dado por
onde é a energia.
© Represente graficamente a densidade de probabilidade de presença da partícula e determine a probabilidade de encontrar a partícula entre e ;
O estado inicial de uma partícula é dado por
onde .
(a) Determine a constante de normalização ;
Uma fina barra de dielétrico de seção reta estende-se ao longo do eixo de a . A polarizaçâo da barra dá-se ao longo de seu comprimento e é dada por . Encontre a densidade volumétrica da carga de polarização e a carga superficial de polarização em cada extremidade. Demonstre explicitamente que a carga total de polarização se anula neste caso.
Responda os questionamentos a seguir, a respeito do debate sobre a natureza da radiação e da matéria ao longo dos séculos:
(a) Quais argumentos eram usados pelos defensores da natureza corpuscular da luz, para defender essa ideia? (como Newton)