Uma partícula de massa
, que se desloca na direção
, encontra-se confinada em um poço de potencial infinito, entre
e
. De modo que a função de onda para qualquer autoestado estacionário de energia da partícula é dada por
com autovalores de energia
Determine:
(a) Os valores médios da posição e do momentum,
, para seus autoestados estacionários de energia;
(a) Os valores médios da posição e do momentum,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula com massa
que está confinada em um poço de potencial infinito, ou seja, ela só pode se mover entre
e
. A gente tem as funções de onda para os autoestados estacionários de energia, que são soluções das equações de Schrödinger para esse sistema, e também os autovalores de energia correspondentes. O que precisamos fazer aqui é encontrar os valores médios (expectativas) da posição
e do momentum
para esses autoestados. Para isso, vamos usar os conceitos de integração das funções de onda e operadores em mecânica quântica.
Passo 2
Vamos começar calculando o valor médio da posição,
. Em mecânica quântica, o valor médio de uma observável, como a posição, é dado pela integral da função de onda multiplicada pela posição e pela função de onda complexa. Matematicamente, isso fica:
Como as funções de onda
são reais nesse caso (não têm parte imaginária), o complexo conjugado
é igual a
. Então, a expressão simplifica para:
Passo 3
Agora, substituímos a expressão de
na integral:
Então,
Substituindo na integral:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Essa integral pode ser separada em duas partes:
A primeira integral é trivial:
A segunda integral, devido à simetria e periodicidade da função cosseno sobre o intervalo
a
, resulta em zero. Portanto:
Passo 4
Agora vamos calcular o valor médio do momentum,
. Em mecânica quântica, o operador do momentum é dado por:
Então, o valor médio do momentum é:
Passo 5
Substituindo
:
Então,
Simplificando:
Usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando:
A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero, e neste caso, a integral de
de
a
também é zero. Portanto:
Resposta
Para qualquer autoestado estacionário de energia
, temos que: