Uma partícula de massa
, que se desloca na direção
, encontra-se confinada em um poço de potencial infinito, entre
e
. De modo que a função de onda para qualquer autoestado estacionário de energia da partícula é dada por
com autovalores de energia
Determine:
(a) Os valores médios da posição e do momentum,
, para seus autoestados estacionários de energia;
(a) Os valores médios da posição e do momentum,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula com massa
que está confinada em um poço de potencial infinito, ou seja, ela só pode se mover entre
e
. A gente tem as funções de onda para os autoestados estacionários de energia, que são soluções das equações de Schrödinger para esse sistema, e também os autovalores de energia correspondentes. O que precisamos fazer aqui é encontrar os valores médios (expectativas) da posição
e do momentum
para esses autoestados. Para isso, vamos usar os conceitos de integração das funções de onda e operadores em mecânica quântica.
Passo 2
Vamos começar calculando o valor médio da posição,
. Em mecânica quântica, o valor médio de uma observável, como a posição, é dado pela integral da função de onda multiplicada pela posição e pela função de onda complexa. Matematicamente, isso fica:
Como as funções de onda
são reais nesse caso (não têm parte imaginária), o complexo conjugado
é igual a
. Então, a expressão simplifica para:
Passo 3
Agora, substituímos a expressão de
na integral:
Então,
Substituindo na integral:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Essa integral pode ser separada em duas partes:
A primeira integral é trivial:
A segunda integral, devido à simetria e periodicidade da função cosseno sobre o intervalo
a
, resulta em zero. Portanto:
Passo 4
Agora vamos calcular o valor médio do momentum,
. Em mecânica quântica, o operador do momentum é dado por:
Então, o valor médio do momentum é:
Passo 5
Substituindo
:
Então,
Simplificando:
Usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando:
A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero, e neste caso, a integral de
de
a
também é zero. Portanto:
Resposta
Para qualquer autoestado estacionário de energia
, temos que:
Exercícios relacionados
O estado inicial de uma partícula de massa
, confinada no intervalo
, em um campo conservativo, é dado por
onde
é a energia.
© Represente graficamente a densidade de probabilidade de presença da partícula e determine a probabilidade de encontrar a partícula entre e
;
© Represente graficamente a densidade de probabilidade de presença da partícula e determine a probabilidade de encontrar a partícula entre
O estado inicial de uma partícula é dado por
onde
.
(a) Determine a constante de normalização ;
(a) Determine a constante de normalização
Uma fina barra de dielétrico de seção reta
estende-se ao longo do eixo
de
a
. A polarizaçâo da barra dá-se ao longo de seu comprimento e é dada por
. Encontre a densidade volumétrica da carga de polarização e a carga superficial de polarização em cada extremidade. Demonstre explicitamente que a carga total de polarização se anula neste caso.
Responda os questionamentos a seguir, a respeito do debate sobre a natureza da radiação e da matéria ao longo dos séculos:
(a) Quais argumentos eram usados pelos defensores da natureza corpuscular da luz, para defender essa ideia? (como Newton)
(a) Quais argumentos eram usados pelos defensores da natureza corpuscular da luz, para defender essa ideia? (como Newton)