O estado inicial de uma partícula de massa m, confinada no intervalo 0, em um campo conservativo, é dado por
Psi(x, 0)=A sin (pi xa) e^-i E t / hbar
onde E é a energia.
© Represente graficamente a densidade de probabilidade de presença da partícula e determine a probabilidade de encontrar a partícula entre x=0 e x=a / 2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente representar graficamente a densidade de probabilidade da presença de uma partícula e calcular a probabilidade de encontrá-la entre e . Isso tá no campo da mecânica quântica, onde usamos a função de onda para entender onde a partícula tá mais provável de estar. Vamos precisar trabalhar com a função de onda dada e entender como transformar isso em uma probabilidade.

Passo 2

Primeiro, pra achar a densidade de probabilidade, gente tem que calcular o módulo ao quadrado da função de onda rho(x) = |Psi(x, 0)|^2 . Então, a densidade de probabilidade rho(x) = |A sin(pi xa) e^-i E t / hbar|^2 é dada por:
rho(x) = |A|^2 sin^2(pi xa)
Substituindo a função de onda do enunciado:
Como o termo exponencial tem módulo 1 (porque é uma fase), fica:

Passo 3

Agora, como a partícula tá confinada no intervalo integral0^a rho(x) , dx = 1 , a função de onda precisa estar normalizada, ou seja, a integral da densidade de probabilidade nesse intervalo deve ser igual a 1:
|A|^2 integral0^a sin^2(pi xa) dx = 1
Substituindo integral sin^2(kx) dx = x2 - sin(2kx)4k + C :
|A|^2 [ a2 - sin(2pi)4 cdot pia ] = 1
A integral de |A|^2 cdot a2 = 1 implies |A|^2 = 2a implies A = raiz2a é conhecida:
rho(x) = 2a sin^2(pi xa)
Aplicando isso:
Como :
Então, a densidade de probabilidade fica:

Passo 4

Para representar graficamente , vamos plotar a função no intervalo de a . Essa função tem um formato de onda quadrada, começando e terminando em zero, com um pico no meio do intervalo.

Passo 5

Agora vamos calcular a probabilidade de encontrar a partícula entre P(0 <= x <= a2) = integral0^a2 2a sin^2(pi xa) dx e P = 2a cdot 12 integral0^a2 (1 - cos(2pi xa)) dx . Isso significa integrar a densidade de probabilidade nesse intervalo:
P = 1a [ x - a2pi sin(2pi xa) ]0^a2
Usando a identidade P = 1a ( a2 - a2pi sin(pi) - 0 + a2pi sin(0) ) = 1a cdot a2 = 12 :
Isso simplifica para:
Calculando os limites:

Resposta

A densidade de probabilidade da partícula é , representada graficamente por uma onda quadrada no intervalo . A probabilidade de encontrar a partícula entre e é de ou 50%.

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