O estado inicial de uma partícula de massa , confinada no intervalo , em um campo conservativo, é dado por
onde é a energia.
© Represente graficamente a densidade de probabilidade de presença da partícula e determine a probabilidade de encontrar a partícula entre e ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente representar graficamente a densidade de probabilidade da presença de uma partícula e calcular a probabilidade de encontrá-la entre e . Isso tá no campo da mecânica quântica, onde usamos a função de onda para entender onde a partícula tá mais provável de estar. Vamos precisar trabalhar com a função de onda dada e entender como transformar isso em uma probabilidade.

Passo 2

Primeiro, pra achar a densidade de probabilidade, gente tem que calcular o módulo ao quadrado da função de onda . Então, a densidade de probabilidade é dada por:
Substituindo a função de onda do enunciado:
Como o termo exponencial tem módulo 1 (porque é uma fase), fica:

Passo 3

Agora, como a partícula tá confinada no intervalo , a função de onda precisa estar normalizada, ou seja, a integral da densidade de probabilidade nesse intervalo deve ser igual a 1:
Substituindo :
A integral de é conhecida:
Aplicando isso:
Como :
Então, a densidade de probabilidade fica:

Passo 4

Para representar graficamente , vamos plotar a função no intervalo de a . Essa função tem um formato de onda quadrada, começando e terminando em zero, com um pico no meio do intervalo.

Passo 5

Agora vamos calcular a probabilidade de encontrar a partícula entre e . Isso significa integrar a densidade de probabilidade nesse intervalo:
Usando a identidade :
Isso simplifica para:
Calculando os limites:

Resposta

A densidade de probabilidade da partícula é , representada graficamente por uma onda quadrada no intervalo . A probabilidade de encontrar a partícula entre e é de ou 50%.

Exercícios relacionados

O estado inicial de uma partícula é dado por
onde .
(a) Determine a constante de normalização ;
Mostre que a energia de recuo do elétron no espalhamento Compton é dada por
onde é a chamada constante de acoplamento. Este resultado foi obtido por Peter Debye em 1923.
(Dica: utilize as leis de conservação da energia e momentum.)
Uma partícula de massa , que se desloca na direção , encontra-se confinada em um poço de potencial infinito, entre e . De modo que a função de onda para qualquer autoestado estacionário de energia da partícula é dada por
com autovalores de energia
Determine:
(a) Os valores médios da posição e do momentum, , para seus autoestados estacionários de energia;
Uma fina barra de dielétrico de seção reta estende-se ao longo do eixo de a . A polarizaçâo da barra dá-se ao longo de seu comprimento e é dada por . Encontre a densidade volumétrica da carga de polarização e a carga superficial de polarização em cada extremidade. Demonstre explicitamente que a carga total de polarização se anula neste caso.