O estado inicial de uma partícula de massa
, confinada no intervalo
, em um campo conservativo, é dado por
onde
é a energia.
© Represente graficamente a densidade de probabilidade de presença da partícula e determine a probabilidade de encontrar a partícula entre
e
;
© Represente graficamente a densidade de probabilidade de presença da partícula e determine a probabilidade de encontrar a partícula entre
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente representar graficamente a densidade de probabilidade da presença de uma partícula e calcular a probabilidade de encontrá-la entre
e
. Isso tá no campo da mecânica quântica, onde usamos a função de onda para entender onde a partícula tá mais provável de estar. Vamos precisar trabalhar com a função de onda dada e entender como transformar isso em uma probabilidade.
Passo 2
Primeiro, pra achar a densidade de probabilidade, gente tem que calcular o módulo ao quadrado da função de onda
. Então, a densidade de probabilidade
é dada por:
Substituindo a função de onda do enunciado:
Como o termo exponencial tem módulo 1 (porque
é uma fase), fica:
Passo 3
Agora, como a partícula tá confinada no intervalo
, a função de onda precisa estar normalizada, ou seja, a integral da densidade de probabilidade nesse intervalo deve ser igual a 1:
Substituindo
:
A integral de
é conhecida:
Aplicando isso:
Como
:
Então, a densidade de probabilidade fica:
Passo 4
Para representar graficamente
, vamos plotar a função
no intervalo de
a
. Essa função tem um formato de onda quadrada, começando e terminando em zero, com um pico no meio do intervalo.
Passo 5
Agora vamos calcular a probabilidade de encontrar a partícula entre
e
. Isso significa integrar a densidade de probabilidade nesse intervalo:
Usando a identidade
:
Isso simplifica para:
Calculando os limites:
Resposta
A densidade de probabilidade da partícula é
, representada graficamente por uma onda quadrada no intervalo
. A probabilidade de encontrar a partícula entre
e
é de
ou 50%.