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uestāo 1) (3) Calcule a expressão de
para um corpo de massa
e velocidade inicial
horizontal, sujeito a uma força de retardo dada por
, onde
. Qual o tempo necessário ara que o corpo reduza sua velocidade para
da velocidade inicial?
uestāo 1) (3) Calcule a expressão de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de física. A gente precisa encontrar a expressão da velocidade $ v(t) $ de um corpo com massa $ m $ e velocidade inicial $ V_0 $ que tá sujeito a uma força de retardo dada por $ F = -k v^{3/2} $. Além disso, queremos saber quanto tempo leva para a velocidade do corpo cair para um quarto da velocidade inicial. Vamos precisar usar conceitos de segunda lei de Newton e resolver uma equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, lembrando a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração: $ F = m \cdot a $. Aqui, a aceleração $ a $ é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, $ a = \frac{dv}{dt} $.
Passo 3
A força de retardo que atua sobre o corpo é $ F = -k v^{3/2} $. Então, podemos igualar as duas expressões da força:
Passo 4
Vamos rearranjar essa equação para separar as variáveis $ v $ e $ t $:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração da esquerda será em relação a $ v $ e a da direita em relação a $ t $:
Passo 6
Calculando as integrais:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Vamos resolver para $ v(t) $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Para facilitar, vamos considerar $ C = 0 $ quando $ t = 0 $, então:
Passo 8
Isolando $ v(t) $:
Elevando ambos os lados à potência de -2:
Passo 9
Agora, queremos encontrar o tempo $ t $ quando a velocidade $ v(t) $ é $ \frac{V_0}{4} $. Então, substituímos na equação:
Passo 10
Resolvendo para $ t $:
Resposta
O tempo necessário para que a velocidade do corpo reduza para um quarto da velocidade inicial é: