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    uestāo 1) (3) Calcule a expressão de v(t) para um corpo de massa m e velocidade inicial V0 horizontal, sujeito a uma força de retardo dada por F=-k v^3 / 2, onde k>0. Qual o tempo necessário ara que o corpo reduza sua velocidade para 1 / 4 da velocidade inicial?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de física. A gente precisa encontrar a expressão da velocidade $ v(t) $ de um corpo com massa $ m $ e velocidade inicial $ V_0 $ que tá sujeito a uma força de retardo dada por $ F = -k v^{3/2} $. Além disso, queremos saber quanto tempo leva para a velocidade do corpo cair para um quarto da velocidade inicial. Vamos precisar usar conceitos de segunda lei de Newton e resolver uma equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, lembrando a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração: $ F = m \cdot a $. Aqui, a aceleração $ a $ é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, $ a = \frac{dv}{dt} $.

Passo 3

A força de retardo que atua sobre o corpo é $ F = -k v^{3/2} $. Então, podemos igualar as duas expressões da força:
F = -k v^3/2

Passo 4

Vamos rearranjar essa equação para separar as variáveis $ v $ e $ t $:
v

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração da esquerda será em relação a $ v $ e a da direita em relação a $ t $:
v

Passo 6

Calculando as integrais:
-2 v^-1/2 = -km t + C
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Vamos resolver para $ v(t) $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
v(t)
Para facilitar, vamos considerar $ C = 0 $ quando $ t = 0 $, então:
2 v^-1/2 = km t - C

Passo 8

Isolando $ v(t) $:
v(t)
Elevando ambos os lados à potência de -2:
v^-1/2 = k2m t

Passo 9

Agora, queremos encontrar o tempo $ t $ quando a velocidade $ v(t) $ é $ \frac{V_0}{4} $. Então, substituímos na equação:
t

Passo 10

Resolvendo para $ t $:
t
t^-2 = V04 cdot ( k2m )^2
t^2 = 4V0 cdot ( 2mk )^2

Resposta

O tempo necessário para que a velocidade do corpo reduza para um quarto da velocidade inicial é:
t = 4mk cdot 1raizV0

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