( ) Um fio de de comprimento é percorrido por uma corrente de no sentido positivo do eixo na presença de um campo magnético . Em termos dos vetores unitários, qual é a força que o campo magnético exerce sobre o fio?

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um fio com comprimento de (que é igual a ) percorrido por uma corrente de na direção positiva do eixo . Existe também um campo magnético dado por . Nosso objetivo é encontrar a força que esse campo magnético exerce sobre o fio, expressa em termos dos vetores unitários , e .
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Lorentz, que nos diz como calcular a força sobre um fio condutor movendo-se em um campo magnético. A fórmula chave que vamos utilizar é:
onde:
  • é a força magnética,
  • é a corrente no fio,
  • é o vetor comprimento do fio,
  • é o campo magnético,
  • denota o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores envolvidos na fórmula. O vetor comprimento do fio, , está na direção positiva do eixo , então podemos escrevê-lo como:
O campo magnético, já dado, é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial . Lembrando que o produto vetorial de dois vetores e é dado por:
No nosso caso, e . Como não há componente em , temos . Vamos calcular cada componente:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Portanto:

Passo 4

Agora que temos o produto vetorial , vamos multiplicar pelo valor da corrente para encontrar a força :
Como , substituímos:

Resposta

A força que o campo magnético exerce sobre o fio é:

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