Sejam T: R^3 R^3 e S: R^3 R^3 definidas como
T([x, y, z])=[x, x+y, x+y+z] e S([x, y, z])=[z, y, x]
Determine T S, S T e T S-S T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve transformações lineares em álgebra linear. A gente tem duas funções, $ T $ e $ S $, que transformam vetores de T para S . Nosso objetivo é descobrir como essas funções interagem quando aplicadas em sequência, ou seja, encontrar $ T S $, $ S T $ e a diferença entre elas, $ T S - S T $. Para isso, vamos precisar entender como compor essas transformações e realizar as operações passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como são definidas as transformações $ T $ e $ S $:
T
S
Aqui, $ T $ pega um vetor T([x, y, z]) = [x, x + y, x + y + z] e cria um novo vetor onde cada componente é uma soma acumulativa dos anteriores. Já $ S $ simplesmente inverte a primeira e a terceira componente do vetor.

Passo 3

Agora, vamos calcular $ T S $, que significa aplicar $ S $ primeiro e depois $ T $. Vamos fazer isso passo a passo:
  1. Aplicando $ S $:
    T S
  2. Aplicando $ T $ ao resultado de $ S $:
    S
Então, combinando as duas etapas, temos:
T

Passo 4

Agora, vamos calcular $ S T $, que é aplicar $ T $ primeiro e depois $ S $:
  1. Aplicando $ T $:
    S T
  2. Aplicando $ S $ ao resultado de $ T $:
    T
Então, combinando as duas etapas, temos:
S

Passo 5

Agora que temos $ T S $ e $ S T $, vamos encontrar a diferença entre elas:
T S
Subtraindo componente por componente:
  1. Primeira componente:
    S T
  2. Segunda componente:
    T S - S T = [z, z + y, z + y + x] - [x + y + z, x + y, x]
  3. Terceira componente:
    z - (x + y + z) = -x - y
Assim, a diferença é:
(z + y) - (x + y) = z - x

Resposta

Portanto, as transformações compostas e sua diferença são:
T S([x, y, z]) = [z, z + y, z + y + x]
S T([x, y, z]) = [x + y + z, x + y, x]
T S - S T = [-x - y, z - x, z + y]

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