Sejam
e
definidas como
Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve transformações lineares em álgebra linear. A gente tem duas funções, $ T $ e $ S $, que transformam vetores de
para
. Nosso objetivo é descobrir como essas funções interagem quando aplicadas em sequência, ou seja, encontrar $ T S $, $ S T $ e a diferença entre elas, $ T S - S T $. Para isso, vamos precisar entender como compor essas transformações e realizar as operações passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como são definidas as transformações $ T $ e $ S $:
Aqui, $ T $ pega um vetor
e cria um novo vetor onde cada componente é uma soma acumulativa dos anteriores. Já $ S $ simplesmente inverte a primeira e a terceira componente do vetor.
Passo 3
Agora, vamos calcular $ T S $, que significa aplicar $ S $ primeiro e depois $ T $. Vamos fazer isso passo a passo:
-
Aplicando $ S $:
-
Aplicando $ T $ ao resultado de $ S $:
Então, combinando as duas etapas, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ S T $, que é aplicar $ T $ primeiro e depois $ S $:
-
Aplicando $ T $:
-
Aplicando $ S $ ao resultado de $ T $:
Então, combinando as duas etapas, temos:
Passo 5
Agora que temos $ T S $ e $ S T $, vamos encontrar a diferença entre elas:
Subtraindo componente por componente:
-
Primeira componente:
-
Segunda componente:
-
Terceira componente:
Assim, a diferença é:
Resposta
Portanto, as transformações compostas e sua diferença são: