Um fio de cobre com diâmetro de 1 cm e resistência elétrica de 3,5 times 10^-3 Omega / m, é revestido por uma camada de isolamento em plástico com condutividade térmica kp=0,15 W /(m^circ ^circ C) e 2,5 mm de espessura e. O isolamento está exposto a uma corrente de ar com temperatura igual a 30^circ C e coeficiente de transferência de calor por convecção de 25 W /(m^2 cdot ^circ C). Desprezando os efeitos da radiação na superfície externa do isolante e considerando que a temperatura da superficie do fio não pode ultrapassar 200^circ C, determine o valor da corrente máxima que pode passar através desse fio.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um fio de cobre com diâmetro de 1 cm e resistência elétrica de . Esse fio está revestido com uma camada de isolamento plástico que tem condutividade térmica de e espessura de 2,5 mm. O isolamento está exposto a ar a 30°C, com um coeficiente de transferência de calor por convecção de 25 . Queremos descobrir a corrente máxima que pode passar pelo fio sem que a temperatura da superfície ultrapasse 200°C. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de resistência elétrica e transferência de calor por condução e convecção.

Passo 2

Vamos começar calculando a área da seção transversal do fio de cobre. O diâmetro é de 1 cm, então o raio A = pi r^2 = pi (0,005)^2 = pi times 2,5 times 10^-5 approx 7,85 times 10^-5 , m^2 é de 0,5 cm ou 0,005 m. A área é dada por:

Passo 3

Agora, vamos considerar que a resistência elétrica por metro do fio é Pelétrica = I^2 R' . A potência dissipada no fio devido à corrente elétrica é dada por:
é
Isso representa o calor gerado pelo fio.

Passo 4

Esse calor gerado precisa ser dissipado para o ambiente para que a temperatura não ultrapasse 200°C. A transferência de calor ocorre em duas etapas: condução através do isolamento e convecção para o ar.
Primeiro, calculamos a resistência térmica pela condução no isolamento. A espessura do isolamento Asuperfície = pi dmédio times 1 , m , e a condutividade térmica Asuperfície = pi times 0,0075 approx 0,0236 , m^2/m . A área de transferência de calor é a superfície lateral do isolante por metro de fio:
Rcond = dkp Asuperfície = 0,00250,15 times 0,0236 approx 0,707 , °C/W íé
Onde é. Então:
í
A resistência térmica pela condução é:
í

Passo 5

Em seguida, consideramos a resistência térmica pela convecção. O coeficiente de transferência de calor por convecção é Rconv = 1h Asuperfície = 125 times 0,0236 approx 1,69 , °C/W . A resistência térmica pela convecção é:
í

Passo 6

A resistência térmica total Rtotal = Rcond + Rconv = 0,707 + 1,69 approx 2,397 , °C/W é a soma das resistências pela condução e convecção:

Passo 7

A diferença de temperatura que o calor precisa superar é Pdissipada = Deí.
A potência necessária para manter essa diferença de temperatura é:

Passo 8

Igualando a potência dissipada à potência gerada eletricamente:
I^2 R' = Pdissipada
Substituindo os valores:
I^2 times 3,5 times 10^-3 = 70,83
Resolvendo para I^2 = 70,833,5 times 10^-3 approx 20237 :
I approx raiz20237 approx 142,3 , A

Resposta

A corrente máxima que pode passar pelo fio sem exceder a temperatura de 200°C é de aproximadamente 142,3 A.

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