Um fio de cobre com diâmetro de 1 cm e resistência elétrica de
, é revestido por uma camada de isolamento em plástico com condutividade térmica
e
de espessura e. O isolamento está exposto a uma corrente de ar com temperatura igual a
e coeficiente de transferência de calor por convecção de
. Desprezando os efeitos da radiação na superfície externa do isolante e considerando que a temperatura da superficie do fio não pode ultrapassar
, determine o valor da corrente máxima que pode passar através desse fio.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um fio de cobre com diâmetro de 1 cm e resistência elétrica de
. Esse fio está revestido com uma camada de isolamento plástico que tem condutividade térmica de
e espessura de 2,5 mm. O isolamento está exposto a ar a 30°C, com um coeficiente de transferência de calor por convecção de 25
. Queremos descobrir a corrente máxima que pode passar pelo fio sem que a temperatura da superfície ultrapasse 200°C. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de resistência elétrica e transferência de calor por condução e convecção.
Passo 2
Vamos começar calculando a área da seção transversal do fio de cobre. O diâmetro é de 1 cm, então o raio
é de 0,5 cm ou 0,005 m. A área
é dada por:
Passo 3
Agora, vamos considerar que a resistência elétrica por metro do fio é
. A potência dissipada no fio devido à corrente elétrica
é dada por:
Isso representa o calor gerado pelo fio.
Passo 4
Esse calor gerado precisa ser dissipado para o ambiente para que a temperatura não ultrapasse 200°C. A transferência de calor ocorre em duas etapas: condução através do isolamento e convecção para o ar.
Primeiro, calculamos a resistência térmica pela condução no isolamento. A espessura do isolamento
, e a condutividade térmica
. A área de transferência de calor é a superfície lateral do isolante por metro de fio:
Onde
. Então:
A resistência térmica pela condução é:
Passo 5
Em seguida, consideramos a resistência térmica pela convecção. O coeficiente de transferência de calor por convecção é
. A resistência térmica pela convecção é:
Passo 6
A resistência térmica total
é a soma das resistências pela condução e convecção:
Passo 7
A diferença de temperatura que o calor precisa superar é
.
A potência necessária para manter essa diferença de temperatura é:
Passo 8
Igualando a potência dissipada à potência gerada eletricamente:
Substituindo os valores:
Resolvendo para
:
Resposta
A corrente máxima que pode passar pelo fio sem exceder a temperatura de 200°C é de aproximadamente 142,3 A.