Com a perspectiva de calcular a transferência e calor entre um corpo humano e sua vizinhança, focamos em uma camada de pele e gordura, com sua superfície externa exposta ao ambiente e sua superfície interna a uma temperatura um pouco abaixo da temperatura corporal, Ti=35^circ C=308 K. Considere uma pessoa com uma camada de pele/gordura com espessura L=3 mm e com uma condutividade térmica efetiva k=0,3 W / m K ). A pessoa tem uma área superficial de 1,8 m^2 e está vestindo roupa de banho. A emissividade da pele é varepsilon=0,95. Para acelerar a solução, escrever o fluxo térmico por radiação em função do coeficiente de transferência de calor por radiação ( hr=5,9 W / m^2 K).
Estando a pessoa imersa em água a Tinfty=297 K, qual é a temperatura superficial da pele e a taxa de perda de calor. A transferência de calor para a água é caracterizada por um coeficiente de convecção h=200 W /(m^2 K).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma pessoa imersa em água e queremos descobrir qual é a temperatura na superfície da pele e a taxa de perda de calor dessa pessoa para o ambiente. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente condução, convecção e radiação. Precisaremos das propriedades térmicas do corpo humano e das condições do ambiente para resolver o problema.

Passo 2

Vamos identificar as partes envolvidas na transferência de calor:
  1. Condução através da camada de pele e gordura.
  2. Convecção da superfície da pele para a água.
  3. Radiação da superfície da pele para o ambiente.
A transferência de calor total será a soma dessas três contribuições.

Passo 3

Começamos calculando a transferência de calor por condução através da camada de pele e gordura. A fórmula para condução de calor é dada por:
Qcond = k cdot A cdot (Ti - Ts)L
onde:
  • é a condutividade térmica,
  • é a área superficial,
  • é a temperatura interna,
  • é a temperatura na superfície da pele que queremos encontrar,
  • é a espessura da camada de pele/gordura.

Passo 4

Agora, vamos calcular a transferência de calor por convecção da pele para a água. A fórmula para convecção é:
Qconv = h cdot A cdot (Ts - Tinfty)
onde:
  • é o coeficiente de convecção,
  • é a temperatura da água.

Passo 5

Em seguida, calculamos a transferência de calor por radiação. Você mencionou para usar o coeficiente de transferência de calor por radiação Qrad = hr cdot A cdot (Ts^4 - Tamb^4) , então a fórmula fica:
Qrad approx hr cdot A cdot (Ts - Tamb)
No entanto, para simplificar, vamos considerar uma aproximação linearizada da radiação onde:
Isso facilita os cálculos sem perder muita precisão.

Passo 6

A transferência de calor total Qtotal = Qcond + Qconv + Qrad é a soma das três contribuições:
k cdot A cdot (Ti - Ts)L + h cdot A cdot (Ts - Tinfty) + hr cdot A cdot (Ts - Tamb)
Assim, temos:
k cdot (Ti - Ts)L + (h + hr) cdot (Ts - Tinfty) = 0
Considerando que , podemos simplificar:

Passo 7

Vamos reorganizar a equação para resolver kL (Ti - Ts) + (h + hr)(Ts - Tinfty) = 0 :
kL Ti - kL Ts + h Ts - h Tinfty + hr Ts - hr Tinfty = 0
Distribuindo os termos:
(-kL + h + hr) Ts = -kL Ti + (h + hr) Tinfty
Agrupando os termos com Ts = kL Ti - (h + hr) Tinfty -kL + h + hr = kL Ti + (h + hr) Tinfty kL + h + hr :
Isolando :

Passo 8

Vamos substituir os valores numéricos na equação:
k = 0,3 , W/m·K, L = 0,003 , m, h = 200 , W/m^2cdotK, hr = 5,9 , W/m^2cdotK
Calculando 0,30,003 = 100 , W/m^2cdotK :
Ts = 100 times 308 + (200 + 5,9) times 297100 + 200 + 5,9 = 30800 + 605 times 297305,9
Agora, substituindo na equação de 30800 + 605 times 297 = 30800 + 179,685 = 310,485 , K :
605 times 297 = 179,685 , W/m^2cdotK times K = 179,685 , W/m^2
Calculando os termos:
Ts = 30800 + 179,685305,9 = 30979,685305,9 approx 101,2 , K
Mas parece que houve um erro na multiplicação. Vamos corrigir:
Então:
No entanto, esse resultado não faz sentido fisicamente, indicando que houve um erro nos cálculos. Vamos refazer os cálculos corretamente.

Passo 9

Vamos refazer a substituição com mais cuidado:
Ts = 100 times 308 + 205,9 times 297100 + 205,9 = 30800 + 61056,3305,9 = 91856,3305,9 approx 300,0 , K
Convertendo para Celsius:
Ts = 300 , K - 273 = 27 , ^circC

Passo 10

Agora que temos a temperatura na superfície da pele Qtotal = k cdot A cdot (Ti - Ts)L , vamos calcular a taxa de perda de calor Qtotal = 0,3 times 1,8 times (308 - 300)0,003 = 0,3 times 1,8 times 80,003 = 4,320,003 = 1440 , W .
Usando uma das formas da equação anterior:
Substituindo os valores:

Resposta

A temperatura superficial da pele é aproximadamente 27 °C e a taxa de perda de calor é de 1440 W.

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