Um fio de comprimento 70 cm é cortado em dois pedaços. Com um deles se fará um círculo e com o outro, um quadrado.
(a) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas áreas compreendidas pelas figuras seja mínima?
(b) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das áreas compreendidas seja máxima?

Passo 1

Vamos entender qual é a questão. Temos um fio de 70 cm que será cortado em dois pedaços: um pedaço formará um círculo e o outro formará um quadrado. A pergunta é como devemos cortar esse fio para que a soma das áreas das figuras (círculo e quadrado) seja mínima em uma parte (a) e máxima em outra (b). O conteúdo que precisamos entender aqui é sobre perímetro, área de figuras geométricas e também um pouquinho de cálculo para otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer algumas variáveis. Vamos chamar de o comprimento do fio que será usado para formar o círculo e de o comprimento do fio que será usado para formar o quadrado. Sabemos que o total do fio é 70 cm, então temos a relação:
Agora, vamos lembrar as fórmulas para a área. A área do círculo é dada por:
Onde é o diâmetro do círculo. Como o perímetro do círculo (ou seja, o comprimento do fio que o forma) é igual a , temos que:
Assim, a área do círculo em função de é:
Agora, para o quadrado, se o comprimento do fio que usamos é , o perímetro do quadrado é , e a fórmula do lado do quadrado ( ) é:
A área do quadrado é:

Passo 3

Agora que temos as áreas, queremos encontrar a soma das áreas das duas figuras:
Substituindo pela relação que encontramos anteriormente ( ), ficamos com:

Passo 4

Para minimizar ou maximizar essa função, precisamos derivar em relação a e igualar a zero. Vamos derivar:
Resolvendo essa equação dá:
Multiplicando ambos os lados da equação por (para limpar os denominadores), teremos:
Assim,
Substituindo na equação para encontrar .

Resposta

Para encontrar as áreas mínima e máxima, podemos agora calcular. Contudo, a resolução padrão de maximização segue para valores típicos de derivadas. O foco inicial é para mínimos ou máximos logs (análise adicional é válida, mas o algoritmo deve seguir os passos com nossa interpretação inicial que leva à razão direta). Portanto, os valores de comprimento são distintos e as somas integradas definem a abordagem após essas equações.

A resposta para as cortes para mínimo com base nos valores padrão encontrados estão aproximadamente em áí e maximiza a área do quadrado mais próxima dos 70 cm.

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