Um fio de comprimento 70 cm é cortado em dois pedaços. Com um deles se fará um círculo e com o outro, um quadrado.
(a) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas áreas compreendidas pelas figuras seja mínima?
(b) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das áreas compreendidas seja máxima?

Passo 1

Vamos entender qual é a questão. Temos um fio de 70 cm que será cortado em dois pedaços: um pedaço formará um círculo e o outro formará um quadrado. A pergunta é como devemos cortar esse fio para que a soma das áreas das figuras (círculo e quadrado) seja mínima em uma parte (a) e máxima em outra (b). O conteúdo que precisamos entender aqui é sobre perímetro, área de figuras geométricas e também um pouquinho de cálculo para otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer algumas variáveis. Vamos chamar de x o comprimento do fio que será usado para formar o círculo e de y o comprimento do fio que será usado para formar o quadrado. Sabemos que o total do fio é 70 cm, então temos a relação:
x + y = 70 cm
Agora, vamos lembrar as fórmulas para a área. A área do círculo é dada por:
Ac = pi (d2)^2 = pi d^24
Onde d é o diâmetro do círculo. Como o perímetro do círculo (ou seja, o comprimento do fio que o forma) é igual a x, temos que:
d = xpi
Assim, a área do círculo em função de x é:
Ac = pi (xpi)^24 = x^24pi
Agora, para o quadrado, se o comprimento do fio que usamos é y, o perímetro do quadrado é y, e a fórmula do lado do quadrado ( l) é:
l = y4
A área do quadrado é:
Aq = l^2 = (y4)^2 = y^216

Passo 3

Agora que temos as áreas, queremos encontrar a soma das áreas das duas figuras:
Atotal = Ac + Aq = x^24pi + y^216
Substituindo y pela relação que encontramos anteriormente ( y = 70 - x), ficamos com:
Atotal = x^24pi + (70 - x)^216

Passo 4

Para minimizar ou maximizar essa função, precisamos derivar em relação a x e igualar a zero. Vamos derivar:
dAtotaldx = 12pi x - 18 (70 - x) = 0
Resolvendo essa equação dá:
x2pi = (70 - x)8
Multiplicando ambos os lados da equação por 16pi (para limpar os denominadores), teremos:
8x = 2pi(70 - x) implies 8x + 2pi x = 140pi implies x(8 + 2pi) = 140pi
Assim,
x = 140pi8 + 2pi
Substituindo x na equação y = 70 - x para encontrar y.

Resposta

Para encontrar as áreas mínima e máxima, podemos agora calcular. Contudo, a resolução padrão de maximização segue para valores típicos de derivadas. O foco inicial é x approx ? para mínimos ou máximos logs (análise adicional é válida, mas o algoritmo deve seguir os passos com nossa interpretação inicial que leva à razão direta). Portanto, os valores de comprimento são distintos e as somas integradas definem a abordagem após essas equações.

A resposta para as cortes para mínimo com base nos valores padrão encontrados estão aproximadamente em x ≈ 40cm para área mínimaáí e x ≈ 0 maximiza a área do quadrado mais próxima dos 70 cm.

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