Sabe-se que é uma reta tangente ao gráfico de e paralela à reta . Determine .

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. A questão fala sobre uma reta tangente ao gráfico de uma função que é paralela a outra reta dada, que é . O conteúdo que precisamos para resolver isso envolve derivadas e a equação da reta tangente. Para encontrar a reta tangente, precisamos descobrir onde a derivada de é igual à inclinação da reta que nos foi dada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta . Na forma geral da equação da reta , o coeficiente é a inclinação. Portanto, a inclinação da reta que estamos analisando é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função para achar onde a tangente tem essa mesma inclinação. A derivada de é dada por , que podemos encontrar aplicando a regra do poder às suas partes:

Passo 4

Agora vamos igualar a derivada à inclinação que encontramos ( ) para descobrir em que ponto essa tangente ocorre:
Resolvendo isso, encontramos duas soluções para :

Passo 5

Agora que temos os valores de , precisamos encontrar os valores de correspondentes substituindo esses valores de na função original . Vamos calcular o valor de e .
Para :
Para :
Então, temos dois pontos onde a reta tangente pode tocar a curva: e .

Passo 6

Agora, vamos escrever a equação da reta tangente, que tem a forma , onde é um dos pontos que encontramos e é a inclinação.
Para o ponto e com inclinação :
Simplificando:
Para o ponto :
Simplificando:

Resposta

As retas tangentes que são paralelas à reta dada são e .

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Derive.
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