Sabe-se que
é uma reta tangente ao gráfico de
e paralela à reta
. Determine
.
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. A questão fala sobre uma reta tangente ao gráfico de uma função
que é paralela a outra reta dada, que é
. O conteúdo que precisamos para resolver isso envolve derivadas e a equação da reta tangente. Para encontrar a reta tangente, precisamos descobrir onde a derivada de
é igual à inclinação da reta que nos foi dada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta
. Na forma geral da equação da reta
, o coeficiente
é a inclinação. Portanto, a inclinação da reta que estamos analisando é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função
para achar onde a tangente tem essa mesma inclinação. A derivada de
é dada por
, que podemos encontrar aplicando a regra do poder às suas partes:
Passo 4
Agora vamos igualar a derivada
à inclinação que encontramos (
) para descobrir em que ponto essa tangente ocorre:
Resolvendo isso, encontramos duas soluções para
:
Passo 5
Agora que temos os valores de
, precisamos encontrar os valores de
correspondentes substituindo esses valores de
na função original
. Vamos calcular o valor de
e
.
Para
:
Para
:
Então, temos dois pontos onde a reta tangente pode tocar a curva:
e
.
Passo 6
Agora, vamos escrever a equação da reta tangente, que tem a forma
, onde
é um dos pontos que encontramos e
é a inclinação.
Para o ponto
e com inclinação
:
Simplificando:
Para o ponto
:
Simplificando:
Resposta
As retas tangentes
que são paralelas à reta dada são
e
.
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.