Sabe-se que r é uma reta tangente ao gráfico de f(x)=x^3+3 x e paralela à reta y=6 x-1. Determine r.

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. A questão fala sobre uma reta tangente ao gráfico de uma função f(x) = x^3 + 3x que é paralela a outra reta dada, que é y = 6x - 1. O conteúdo que precisamos para resolver isso envolve derivadas e a equação da reta tangente. Para encontrar a reta tangente, precisamos descobrir onde a derivada de f(x) é igual à inclinação da reta que nos foi dada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta y = 6x - 1. Na forma geral da equação da reta y = mx + b, o coeficiente m é a inclinação. Portanto, a inclinação da reta que estamos analisando é m = 6.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função f(x) para achar onde a tangente tem essa mesma inclinação. A derivada de f(x) é dada por f'(x), que podemos encontrar aplicando a regra do poder às suas partes:
f(x) = x^3 + 3x f'(x) = 3x^2 + 3

Passo 4

Agora vamos igualar a derivada f'(x) à inclinação que encontramos ( 6) para descobrir em que ponto essa tangente ocorre:
3x^2 + 3 = 6
3x^2 = 6 - 3
3x^2 = 3
x^2 = 1
Resolvendo isso, encontramos duas soluções para x:
x = 1 ou x = -1

Passo 5

Agora que temos os valores de x, precisamos encontrar os valores de y correspondentes substituindo esses valores de x na função original f(x). Vamos calcular o valor de f(1) e f(-1).
Para x = 1:
f(1) = (1)^3 + 3(1) = 1 + 3 = 4
Para x = -1:
f(-1) = (-1)^3 + 3(-1) = -1 - 3 = -4
Então, temos dois pontos onde a reta tangente pode tocar a curva: (1, 4) e (-1, -4).

Passo 6

Agora, vamos escrever a equação da reta tangente, que tem a forma y - y0 = m(x - x0), onde (x0, y0) é um dos pontos que encontramos e m é a inclinação.
Para o ponto (1, 4) e com inclinação 6:
y - 4 = 6(x - 1)
Simplificando:
y - 4 = 6x - 6
y = 6x - 2
Para o ponto (-1, -4):
y - (-4) = 6(x - (-1))
Simplificando:
y + 4 = 6x + 6
y = 6x + 2

Resposta

As retas tangentes r que são paralelas à reta dada são r: y = 6x - 2 e r: y = 6x + 2.

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