Um fio de comprimento L conduz uma corrente i. Mostre que se o fio forma uma bobina circular, o torque máximo desenvolvido por um determinado campo magnético acontece quando a bobina tem apenas uma espira e seu módulo é dado por: tau=14 pi L^2 i B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio de comprimento que conduz uma corrente e está enrolado formando uma bobina circular. O objetivo é mostrar que o torque máximo nesse sistema acontece quando a bobina tem só uma espira e calcular esse torque usando a fórmula . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre torque em campos magnéticos e como a forma da bobina influencia nisso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é torque. Torque é uma força que causa rotação. No contexto de física, quando temos uma corrente passando por uma bobina dentro de um campo magnético, essa corrente interage com o campo e gera um torque que tenta alinhar a bobina com o campo.

Passo 3

Agora, vamos pensar na bobina circular. Se a bobina tem tau = N cdot I cdot A cdot B cdot sin(theta) espiras (quantas vezes o fio está enrolado na bobina), o torque total que ela experimenta no campo magnético pode ser dado pela fórmula:
Aqui, é a área da bobina, é a corrente, e é o ângulo entre o plano da bobina e o campo magnético. Para o torque ser máximo, deve ser 1, ou seja, quando a bobina está perpendicular ao campo.

Passo 4

Como a bobina é circular, a área A = pi r^2 é:
L = 2 pi r cdot N
Onde r = L2 pi N é o raio da bobina. Além disso, o comprimento total do fio que forma a bobina está relacionado ao raio pela circunferência:
Aqui, é o número de espiras. Queremos expressar tudo em termos de , então vamos isolar :

Passo 5

Substituindo A = pi ( L2 pi N )^2 = pi cdot L^24 pi^2 N^2 = L^24 pi N^2 na fórmula da área:

Passo 6

Agora, substituindo tau = N cdot I cdot L^24 pi N^2 cdot B = I L^2 B4 pi N na fórmula do torque:

Passo 7

Para encontrar o torque máximo, a gente observa que é inversamente proporcional a . Isso significa que quanto menor o número de espiras , maior o torque. Portanto, o torque máximo ocorre quando .

Passo 8

Substituindo tau = I L^2 B4 pi cdot 1 = 14 pi L^2 i B na expressão do torque:

Resposta

Portanto, o torque máximo desenvolvido pela bobina quando ela tem apenas uma espira é dado por:
tau = 14 pi L^2 i B

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