Uma espira quadrada de fio de lado transporta uma corrente i. Mostre que, no centro da espira, o modulo do campo magnético produzido pela corrente é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma espira quadrada com lado igual a e uma corrente passando por ela. A missão é descobrir qual é o módulo do campo magnético gerado por essa corrente no centro da espira. Para isso, vamos usar a teoria do campo magnético gerado por correntes elétricas, especificamente a Lei de Biot-Savart.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Biot-Savart, que nos dá a expressão para o campo magnético gerado por um elemento de corrente. A fórmula é:
Onde:
  • é a permeabilidade do vácuo,
  • é a corrente,
  • é um pequeno segmento do fio,
  • é o vetor unitário que aponta do segmento para o ponto onde estamos calculando o campo,
  • é a distância entre e o ponto.

Passo 3

Como temos uma espira quadrada, vamos calcular o campo magnético no centro produzido por um dos lados e depois multiplicar por 4, já que todos os lados são iguais e contribuem igualmente.
Considere um lado da espira com comprimento . No centro da espira, a distância de cada segmento do fio até o centro é (usando o teorema de Pitágoras para a diagonal da espira).

Passo 4

O campo magnético gerado por um segmento de fio retilíneo de comprimento no ponto central é dado por uma versão simplificada da Lei de Biot-Savart:
Aqui, é o ângulo entre e . No nosso caso, , pois o fio está a 45 graus em relação à linha que vai até o centro.
Então:
Sabendo que , temos:

Passo 5

Agora, como são 4 lados iguais contribuindo para o campo no mesmo sentido, o campo total no centro da espira será:

Resposta

O módulo do campo magnético no centro da espira é:

Exercícios relacionados

Estime a altura que a coluna de água à temperatura ambiente pode subir em um capilar de vidro em função do raio do capilar ao nível do mar. Considere o ângulo de contato entre água e vidro igual a . Compare os valores para capilares de e de diâmetro.
Uma agulha de 3,2 cm de comprimento é colocada delicadamente sobre a água em um béquer . Se não for muito pesada a agulha não afundará. Qual o máximo peso de agulha que pode ser usada nesta demonstração?
Um elétron tem uma velocidade inicial de e uma aceleração constante de no interior de uma região onde existe um campo elétrico e um campo magnético uniforme. Determine o campo elétrico , sabendo-se que .
Um fio de comprimento L conduz uma corrente . Mostre que se o fio forma uma bobina circular, o torque máximo desenvolvido por um determinado campo magnético acontece quando a bobina tem apenas uma espira e seu módulo é dado por: .