Uma espira quadrada de fio de lado a transporta uma corrente i. Mostre que, no centro da espira, o modulo do campo magnético produzido pela corrente é:
B=2 raiz2 mu0 ipi a

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma espira quadrada com lado igual a e uma corrente passando por ela. A missão é descobrir qual é o módulo do campo magnético gerado por essa corrente no centro da espira. Para isso, vamos usar a teoria do campo magnético gerado por correntes elétricas, especificamente a Lei de Biot-Savart.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Biot-Savart, que nos dá a expressão para o campo magnético gerado por um elemento de corrente. A fórmula é:
dB = mu04pi I , dl times rr^2
Onde:
  • é a permeabilidade do vácuo,
  • é a corrente,
  • é um pequeno segmento do fio,
  • é o vetor unitário que aponta do segmento para o ponto onde estamos calculando o campo,
  • é a distância entre e o ponto.

Passo 3

Como temos uma espira quadrada, vamos calcular o campo magnético no centro produzido por um dos lados e depois multiplicar por 4, já que todos os lados são iguais e contribuem igualmente.
Considere um lado da espira com comprimento . No centro da espira, a distância de cada segmento do fio até o centro é (usando o teorema de Pitágoras para a diagonal da espira).

Passo 4

O campo magnético gerado por um segmento de fio retilíneo de comprimento Bum lado = mu0 I4pi cdot 2a cdot sin(theta) no ponto central é dado por uma versão simplificada da Lei de Biot-Savart:
Bum lado = mu0 I4pi cdot 2a cdot sin(45^circ)
Aqui, Bum lado = mu0 I4pi cdot 2a cdot raiz22 = mu0 I raiz24pi a é o ângulo entre e . No nosso caso, , pois o fio está a 45 graus em relação à linha que vai até o centro.
Então:
Sabendo que , temos:

Passo 5

Agora, como são 4 lados iguais contribuindo para o campo no mesmo sentido, o campo total no centro da espira será:
B = 4 cdot Bum lado = 4 cdot mu0 I raiz24pi a = 2 raiz2 mu0 ipi a

Resposta

O módulo do campo magnético no centro da espira é:
B = 2 raiz2 mu0 ipi a

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