Uma espira quadrada de fio de lado
transporta uma corrente i. Mostre que, no centro da espira, o modulo do campo magnético produzido pela corrente é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma espira quadrada com lado igual a
e uma corrente
passando por ela. A missão é descobrir qual é o módulo do campo magnético
gerado por essa corrente no centro da espira. Para isso, vamos usar a teoria do campo magnético gerado por correntes elétricas, especificamente a Lei de Biot-Savart.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Biot-Savart, que nos dá a expressão para o campo magnético gerado por um elemento de corrente. A fórmula é:
Onde:
-
é a permeabilidade do vácuo, -
é a corrente, -
é um pequeno segmento do fio, -
é o vetor unitário que aponta do segmento para o ponto onde estamos calculando o campo, -
é a distância entre e o ponto.
Passo 3
Como temos uma espira quadrada, vamos calcular o campo magnético no centro produzido por um dos lados e depois multiplicar por 4, já que todos os lados são iguais e contribuem igualmente.
Considere um lado da espira com comprimento
. No centro da espira, a distância
de cada segmento do fio até o centro é
(usando o teorema de Pitágoras para a diagonal da espira).
Passo 4
O campo magnético gerado por um segmento de fio retilíneo de comprimento
no ponto central é dado por uma versão simplificada da Lei de Biot-Savart:
Aqui,
é o ângulo entre
e
. No nosso caso,
, pois o fio está a 45 graus em relação à linha que vai até o centro.
Então:
Sabendo que
, temos:
Passo 5
Agora, como são 4 lados iguais contribuindo para o campo no mesmo sentido, o campo total no centro da espira será:
Resposta
O módulo do campo magnético no centro da espira é: