Um fio condutor de cobre de 30 metros de comprimento e 2 mm de diâmetro será submetido a uma condição de operação de 40^circ C. Qual a resistividade do cobre a essa temperatura? Sabendo que a resistência associada aos 30 metros de condutor a 25^circ C é de 0,159 ohms. Qual a resistência do condutor a 40^circ C ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui envolve elétrica, especificamente resistividade e resistência de um fio condutor de cobre. Vamos precisar entender como a temperatura afeta a resistividade e a resistência de um material. Então, vamos dividir isso passo a passo para facilitar a compreensão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é resistividade. A resistividade ( R = rho LA ) é uma propriedade do material que indica o quanto ele resiste ao fluxo de corrente elétrica. A fórmula básica que relaciona resistividade, resistência, comprimento ( ) e área da seção transversal ( ) é:
Onde:
  • é a resistência,
  • é a resistividade,
  • é o comprimento do fio,
  • é a área da seção transversal.

Passo 3

Vamos calcular a área da seção transversal do fio. O fio é circular, então usamos a fórmula da área do círculo:
A = pi (d2)^2
Dado que o diâmetro ( A = pi (0,0022)^2 = pi (0,001)^2 = pi times 10^-6 , m^2 ) é de 2 mm, que é 0,002 metros.

Passo 4

Sabemos que a resistência ( rho25 = R25 AL ) a 25°C é de 0,159 ohms. Vamos usar a fórmula da resistência para encontrar a resistividade a 25°C ( rho25 = 0,159 times pi times 10^-630 approx 0,159 times 3,1416 times 10^-630 approx 1,66 times 10^-7 , Omega cdot m ):
Com , , e :

Passo 5

Agora, vamos considerar como a resistividade muda com a temperatura. A resistividade de um metal geralmente aumenta com a temperatura e pode ser aproximada por:
rhoT = rho25 [1 + alpha (T - 25)]
Onde:
  • é a resistividade a temperatura ,
  • é o coeficiente de temperatura da resistividade do cobre ( ),
  • é a nova temperatura (40°C).

Passo 6

Vamos calcular rho40 = 1,66 times 10^-7 [1 + 0,00393 times (40 - 25)] = 1,66 times 10^-7 [1 + 0,00393 times 15] = 1,66 times 10^-7 times 1,058 = 1,757 times 10^-7 , Omega cdot m :

Passo 7

Agora que temos a resistividade a 40°C, podemos encontrar a resistência ( R40 = rho40 LA ) usando a mesma fórmula da resistência:
R40 = 1,757 times 10^-7 times 30pi times 10^-6 approx 1,757 times 10^-7 times 303,1416 times 10^-6 approx 1,757 times 10^-7 times 955 times 10^3 approx 0,168 , Omega
Substituindo os valores:

Resposta

A resistividade do cobre a 40°C é aproximadamente e a resistência do condutor a essa temperatura é cerca de 0,168 ohms.

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