Um fio elétrico com 20 mm de diâmetro e 1 m de comprimento está revestido com um material plástico de espessura e=6mm e condutividade térmica igual a k=0,08 W / m^circ C. Medidas indicam que o fio está submetido a uma corrente elétrica de 10A e uma tensão de 8 V . Sabendo-se que o fio revestido está em um ambiente com temperatura média de Tinfty=30^circ C e com um coeficiente de transferência de calor de h=5 W / m^20 C, determinar:
a) A temperatura na interface entre o fio e o revestimento plástico considerando regime permanente.
b) Com o objetivo de reduzir a temperatura na interface entre o fio e o revestimento plástico um engenheiro sugeriu que fosse retirado o isolamento, enquanto outro engenheiro sugeriu que fosse aumentada a espessura do isolamento para 11mm. Qual sua opinião em relação as sugestões apresentadas? Justifique.
Dados: Potência elétrica = Tensão times Corrente.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar o que precisamos para resolvê-lo.
Enunciado: Temos um fio elétrico de 20 mm de diâmetro e 1 m de comprimento, revestido com um material plástico de espessura mm e condutividade térmica . O fio está transportando uma corrente elétrica de 10 A com uma tensão de 8 V. Além disso, o fio revestido está em um ambiente com temperatura média de e coeficiente de transferência de calor .
Objetivos:
a) Determinar a temperatura na interface entre o fio e o revestimento plástico considerando regime permanente.
b) Analisar as sugestões dos engenheiros para reduzir a temperatura na interface.
Conteúdo da matéria: Transferência de calor por condução e convecção em regime permanente.
O que vamos precisar:
  • Fórmula da potência elétrica: .
  • Equação de condução de calor (Lei de Fourier).
  • Equação de convecção de calor.
  • Princípio do regime permanente, onde a geração de calor no fio é igual à perda de calor pelo revestimento.

Passo 2

Vamos começar calculando a potência elétrica dissipada no fio. Isso nos ajudará a determinar a quantidade de calor gerado pelo fio.
A potência elétrica P = V times I é dada por:
P = 8 , V times 10 , A = 80 , W
Onde:
Calculando:

Passo 3

Em regime permanente, a potência elétrica dissipada no fio é igual à potência perdida pelo sistema através da condução e convecção. Vamos considerar a transferência de calor através do revestimento plástico e a perda por convecção para o ambiente.
Primeiro, calculamos a transferência de calor por condução Qcond = k times A times De através do revestimento plástico:
A = 2 pi r L
Onde:
  • r = 0,01 , m + 0,006 , m = 0,016 , m
  • A = 2 pi times 0,016 , m times 1 , m = 0,1005 , m^2 é a área da superfície do cilindro
  • (espessura do revestimento)
A área superficial de um cilindro é dada por:
Onde:
  • é o raio do fio mais o revestimento
O diâmetro do fio é 20 mm, então o raio do fio é 10 mm = 0,01 m. Com o revestimento de 6 mm, o raio total é:
Calculando :

Passo 4

Agora, consideramos a transferência de calor por convecção Qconv = h times A times De:
Qcond = Qconv = P
Onde:
  • k times A times (Tinterface - Tinfty)e = h times A times (Tinterface - Tinfty)
  • k times (Tinterface - Tinfty)e = h times (Tinterface - Tinfty)
  • ke = h
Em regime permanente:
0,080,006 approx 13,33 , W/(m^2 cdot ^circ C)
Então:
P = Qcond + Qconv
Podemos simplificar 80 = 0,08 times 0,1005 times De dos dois lados:
80 = ( 0,08 times 0,10050,006 + 5 times 0,1005 ) De
Como 80 = ( 1,34 + 0,5025 ) De é comum, podemos isolar:
80 = 1,8425 De
Substituindo os valores:
De
Comparando com , percebemos que há um desequilíbrio. Isso indica que precisamos ajustar nossas equações.
Na verdade, a potência elétrica deve ser igual à soma das perdas por condução e convecção:
Então:
Calculando:
Isolando :

Passo 5

Agora, podemos determinar a temperatura na interface entre o fio e o revestimento plástico usando:
Tinterface = Tinfty + De
Substituindo os valores:
Tinterface = 30^circ C + 43,43^circ C approx 73,43^circ C

Resposta

a) A temperatura na interface entre o fio e o revestimento plástico, considerando regime permanente, é aproximadamente 73,43°C.
b) Análise das sugestões dos engenheiros:
  • Retirar o isolamento: Sem o revestimento plástico, a área de superfície para dissipação de calor aumenta significativamente, o que pode reduzir a temperatura na interface devido à maior área de troca térmica. Contudo, isso pode expor o fio a danos mecânicos e riscos de curto-circuito.
  • Aumentar a espessura do isolamento para 11 mm: Aumentar a espessura do isolamento aumentaria a resistência à condução de calor, o que provavelmente aumentaria a temperatura na interface, contrariando o objetivo de reduzir a temperatura.
Opinião: A sugestão de retirar o isolamento é mais viável para reduzir a temperatura na interface, desde que sejam tomadas medidas para proteger o fio de danos e garantir a segurança elétrica. Aumentar a espessura do isolamento não é recomendado, pois não contribui para a redução da temperatura.

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