O estado inicial de uma partícula, Psi(x, 0) em t-0, é dado por
Psi(x, 0)=Nx^2+alpha^2
onde alpha e N são parametros reais. Encontre b) o valor esperado da posição lang<= xrang<=

Passo 1

Então, temos um exercício onde nos dão a função de onda inicial de uma partícula, que é . Nosso objetivo aqui é encontrar o valor esperado da posição, denotado por . Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados a valores esperados e integrais de funções de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor esperado da posição lang<= x rang<= = integral-infty^infty Psi^*(x, 0) , x , Psi(x, 0) , dx é calculado usando a seguinte fórmula:
Aqui, é o conjugado complexo da função de onda . Como nossa função de onda é real, .

Passo 3

Substituindo lang<= x rang<= = integral-infty^infty (Nx^2 + alpha^2) , x , (Nx^2 + alpha^2) , dx na fórmula, temos:
lang<= x rang<= = N^2 integral-infty^infty x(x^2 + alpha^2)^2 , dx
Isso simplifica para:

Passo 4

Observamos que a função integranda -x((-x)^2 + alpha^2)^2 = -x(x^2 + alpha^2)^2 é uma função ímpar, porque substituir por muda o sinal da função:

Passo 5

Sabendo que a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero, concluímos que:
lang<= x rang<= = N^2 times 0 = 0

Resposta

O valor esperado da posição é .

Exercícios relacionados