O estado inicial de uma partícula,
em
, é dado por
onde
e
são parametros reais. Encontre b) o valor esperado da posição
Passo 1
Então, temos um exercício onde nos dão a função de onda inicial de uma partícula, que é
. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor esperado da posição, denotado por
. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados a valores esperados e integrais de funções de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o valor esperado da posição
é calculado usando a seguinte fórmula:
Aqui,
é o conjugado complexo da função de onda
. Como nossa função de onda é real,
.
Passo 3
Substituindo
na fórmula, temos:
Isso simplifica para:
Passo 4
Observamos que a função integranda
é uma função ímpar, porque substituir
por
muda o sinal da função:
Passo 5
Sabendo que a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero, concluímos que:
Resposta
O valor esperado da posição é
.
Exercícios relacionados
Mostre que a soma das funções de onda
é solução da equação de Schroedinger para uma partícula de massa
num potencial constante,
, e obtenha a relação entre
e
.
Um elétron e um fóton têm, cada um, um comprimento de onda de 3,0 Angstrom (
). Cálcule as energias e os momentos de cada um e interprete o resultado.
Em geral, a mecânica quântica é relevante quando o comprimento de onda de de Broglie da partícula em questão (
) é da ordem do comprimento característico do sistema. Em equilíbrio térmico à temperatura T (em Kelvin), a energia cinética média de uma partícula é
Onde
é a constante de Boltzmann) e, portanto, o comprimento de onda típico de de Broglie é
O objetivo desse problema é explorar quais sistemas terão de ser tratados do ponto de vista da mecânica quântica e quais podem tranquilamente ser descritos classicamente. b) Gases: para quais temperaturas os átomos em um gás ideal em pressão
são quânticos? Dica: use a lei dos gases ideais
para deduzir o espaçamento interatômico. Resposta:
. Evidentemente, para o gás mostrar o comportamento quântico, queremos que
seja o menor possível e
tão grande quanto possível. Faça o cálculo para o hélio a pressão atmosférica. O hidrogênio no espaço sideral (onde o espaço intermolecular é de cerca de 1 cm e a temperatura é de 3 K ) é quântico?
Para um fio em forma de arco de circunferência de ângulo central
, raio
e centro
, percorrido por uma corrente
mostre que a magnitude do campo produzido no ponto
vale
.