Um fio ideal de 40 cm de comprimento e uma esfera de 0,10 kg de massa constituem um pêndulo cônico, formando um ângulo theta=8^0 com a vertical. Determine:
a) A força centrípeta
b) A tração no fio;
c) O período do movimento.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um exercício sobre pêndulo cônico, que envolve uma esfera de 0,10 kg presa a um fio de 40 cm, formando um ângulo de 8° com a vertical. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força centrípeta, tração no fio e período de movimento. Vamos desvendar cada parte passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o pêndulo cônico. A esfera está se movendo em um círculo horizontal, e o fio inclinado forma um ângulo de 8° com a vertical. Para entender as forças envolvidas, vamos decompor a força de tração no fio em duas componentes:
  1. Componente vertical (T cosθ): Equilibra o peso da esfera.
  2. Componente horizontal (T sinθ): Fornece a força centrípeta que mantém a esfera em movimento circular.

Passo 3

Vamos calcular o raio da trajetória circular. O raio $ r $ é a distância do ponto de rotação ao centro da esfera e pode ser encontrado usando o comprimento do fio $ L $ e o ângulo $ \theta $:
r
Onde:
  • $ L = 0,40 , m $
  • $ \theta = 8° $
Convertendo o ângulo para radianos se necessário, mas como usaremos seno diretamente, podemos manter em graus.
L

Passo 4

Agora, vamos encontrar a força centrípeta. A força centrípeta $ F_c $ é dada por:
Fc
Mas ainda não sabemos a velocidade $ v $. Então, precisamos relacionar as forças para encontrar uma expressão para $ F_c $.

Passo 5

Vamos usar o equilíbrio das forças na direção vertical para encontrar a tração no fio $ T $. A componente vertical da tração equilibra o peso da esfera:
T
Onde:
  • $ m = 0,10 , kg $
  • $ g = 9,81 , m/s^2 $
Resolvendo para $ T $:
T cos(theta) = m g

Passo 6

Agora, com a tração $ T $ conhecida, podemos encontrar a força centrípeta que é a componente horizontal da tração:
T

Passo 7

Por fim, vamos calcular o período do movimento $ T_p $. Sabemos que a força centrípeta também pode ser expressa em termos do período:
Tp
Resolvendo para $ T_p $:
Fc = m (2 pi r / Tp)^2r = 4 pi^2 m rTp^2
Substituindo os valores:
Tp

Resposta

a) A força centrípeta é aproximadamente 0,138 N.
b) A tração no fio é cerca de 0,99 N.
c) O período do movimento é aproximadamente 1,26 segundos.

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