Determinar a inclinação alpha que deve ter uma estrada, em uma curva de 400 m de raio, para que um carro, com velocidade de módulo 40 m / s, não derrape, independentemente do coeficiente de atrito.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a inclinação alpha que uma estrada deve ter em uma curva de raio de 400 metros, para que um carro, viajando a 40 metros por segundo, não derrape, independentemente do coeficiente de atrito. Vamos usar conceitos de física sobre forças em movimento circular e inclinação de estradas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando um carro faz uma curva, ele precisa de uma força centrípeta para manter o movimento circular. Essa força é dada por:
Fc = m v^2r
onde:
  • m é a massa do carro,
  • v é a velocidade,
  • r é o raio da curva.

Passo 3

Agora, para que o carro não derrape, a força centrípeta precisa ser fornecida pela componente horizontal da força normal, que vem da inclinação da estrada. A força normal N está relacionada ao ângulo de inclinação alpha.

Passo 4

Vamos decompor a força normal nas componentes vertical e horizontal. A componente vertical equilibrará o peso do carro, e a componente horizontal fornecerá a força centrípeta.
N cos alpha = m g
N sin alpha = m v^2r
onde g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,8 , m/s²²).

Passo 5

Dividindo a segunda equação pela primeira, conseguimos eliminar a massa m:
N sin alphaN cos alpha = m v^2rm g
Simplificando:
tan alpha = v^2r g

Passo 6

Agora, é só substituir os valores dados no problema para encontrar alpha:
tan alpha = (40)^2400 times 9,8
tan alpha = 16003920
tan alpha approx 0,408

Passo 7

Para encontrar o ângulo alpha, tiramos a tangente inversa:
alpha = arctan(0,408)
alpha approx 22,3^circ

Resposta

A inclinação necessária da estrada é aproximadamente 22,3^circ.

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