Um fio magnético deve ser revestido com verniz isolante sendo puxado através de uma matriz circular com
de diâmetro e 50 mm de comprimento. O diâmetro do fio é de
e ele passa centrado na matriz. O verniz (
centipoise) preenche completamente o espaço entre o fio e as paredes da matriz. O fio é puxado a uma velocidade de
. Determine a força necessária para puxar o fio através da matriz.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem um fio magnético sendo puxado através de uma matriz circular revestida com verniz isolante. O diâmetro da matriz é de 1,0 mm, o do fio é de 0,9 mm, e o verniz preenche completamente o espaço entre eles. A velocidade de puxada do fio é de 50 m/s, e precisamos descobrir qual é a força necessária para realizar essa ação. Vamos usar conceitos de viscosidade e força viscosa para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Diâmetro da matriz (D) = 1,0 mm → raio da matriz (b) = D/2 = 0,5 mm
- Diâmetro do fio (d) = 0,9 mm → raio do fio (a) = d/2 = 0,45 mm
- Comprimento da matriz (L) = 50 mm
- Viscosidade do verniz (μ) = 20 centipoise = 0,020 Pa·s (já que 1 centipoise = 0,001 Pa·s)
- Velocidade de puxada (v) = 50 m/s
Passo 3
A força necessária para puxar o fio através da matriz é a força viscosa exercida pelo verniz devido ao movimento do fio. Para fluidos viscosos em um espaço entre dois cilindros concêntricos, a força viscosa (F) pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
-
é o comprimento da matriz -
é a viscosidade do verniz -
é a velocidade do fio -
e são os raios do fio e da matriz, respectivamente -
é o logaritmo natural
Passo 4
Vamos calcular o logaritmo natural do quociente entre os raios:
Passo 5
Agora, substituímos todos os valores na fórmula da força viscosa:
Primeiro, calculamos o numerador:
Passo 6
Agora, dividimos pelo denominador:
Resposta
A força necessária para puxar o fio através da matriz é aproximadamente 2980 newtons.