Um fio magnético deve ser revestido com verniz isolante sendo puxado através de uma matriz circular com 1,0 mm de diâmetro e 50 mm de comprimento. O diâmetro do fio é de 0,9 mm e ele passa centrado na matriz. O verniz ( mu=20 centipoise) preenche completamente o espaço entre o fio e as paredes da matriz. O fio é puxado a uma velocidade de 50 m / s. Determine a força necessária para puxar o fio através da matriz.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem um fio magnético sendo puxado através de uma matriz circular revestida com verniz isolante. O diâmetro da matriz é de 1,0 mm, o do fio é de 0,9 mm, e o verniz preenche completamente o espaço entre eles. A velocidade de puxada do fio é de 50 m/s, e precisamos descobrir qual é a força necessária para realizar essa ação. Vamos usar conceitos de viscosidade e força viscosa para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Diâmetro da matriz (D) = 1,0 mm → raio da matriz (b) = D/2 = 0,5 mm
  • Diâmetro do fio (d) = 0,9 mm → raio do fio (a) = d/2 = 0,45 mm
  • Comprimento da matriz (L) = 50 mm
  • Viscosidade do verniz (μ) = 20 centipoise = 0,020 Pa·s (já que 1 centipoise = 0,001 Pa·s)
  • Velocidade de puxada (v) = 50 m/s

Passo 3

A força necessária para puxar o fio através da matriz é a força viscosa exercida pelo verniz devido ao movimento do fio. Para fluidos viscosos em um espaço entre dois cilindros concêntricos, a força viscosa (F) pode ser calculada usando a fórmula:
F = 2 pi L mu vln(b/a)
Onde:
  • é o comprimento da matriz
  • é a viscosidade do verniz
  • é a velocidade do fio
  • e são os raios do fio e da matriz, respectivamente
  • é o logaritmo natural

Passo 4

Vamos calcular o logaritmo natural do quociente entre os raios:
ln(ba) = ln(0,50,45) = ln(1,1111) approx 0,1054

Passo 5

Agora, substituímos todos os valores na fórmula da força viscosa:
F = 2 pi times 50 times 0,020 times 500,1054
Primeiro, calculamos o numerador:
2 pi times 50 times 0,020 times 50 = 2 times 3,1416 times 50 times 0,020 times 50
= 6,2832 times 50 times 0,020 times 50
= 6,2832 times 1 times 50
= 6,2832 times 50
= 314,16

Passo 6

Agora, dividimos pelo denominador:
F = 314,160,1054 approx 2980 , N

Resposta

A força necessária para puxar o fio através da matriz é aproximadamente 2980 newtons.

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