Um fio metálico com diâmetro D está posicionado transversalmente a uma passagem para determinar a velocidade do escoamento a partir de características de transferência de calor. Uma corrente elétrica é passada através do fio para aquecê-lo e o calor é dissipado por convecção por um fluido em escoamento. A resistência elétrica do fio é determinada por medidas elétricas e sua temperatura é conhecida a partir dessa resistência.
a) Para um fluido com número de Prandtl arbitrário, desenvolva uma expressão para sua velocidade em termos da diferença entre a temperatura do fio e a temperatura da corrente livre do fluido.
b) Qual é a velocidade de uma corrente de ar a 1 atm e 250 C, se um fio com 0,5 mm de diâmetro atinge uma temperatura de
C enquanto dissipa
?
a) Para um fluido com número de Prandtl arbitrário, desenvolva uma expressão para sua velocidade em termos da diferença entre a temperatura do fio e a temperatura da corrente livre do fluido.
b) Qual é a velocidade de uma corrente de ar a 1 atm e 250 C, se um fio com 0,5 mm de diâmetro atinge uma temperatura de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um fio metálico com diâmetro D que está atravessando uma passagem para medir a velocidade do fluido que está escoando. A gente precisa usar conceitos de transferência de calor por convecção para resolver isso. No primeiro item (a), a gente precisa desenvolver uma expressão para a velocidade do fluido em termos da diferença de temperatura entre o fio e a temperatura do fluido. Para isso, vamos precisar dos conceitos de convecção forçada, número de Prandtl e as relações que ligam transferência de calor à velocidade do fluido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transferência de calor por convecção pode ser descrita pela equação:
Onde:
-
é a taxa de transferência de calor, -
é o coeficiente de transferência de calor por convecção, -
é a área superficial do fio, -
é a diferença de temperatura entre o fio e o fluido.
Passo 3
O coeficiente de transferência de calor
pode ser relacionado ao número de Nusselt (
) pela seguinte relação:
Onde:
-
é o diâmetro do fio, -
é a condutividade térmica do fluido.
Também sabemos que o número de Nusselt está relacionado ao número de Reynolds (
) e ao número de Prandtl (
):
Para um número de Prandtl arbitrário, vamos considerar uma relação geral. Mas para simplificar, vamos assumir que
é proporcional a
, que é comum em muitos casos de convecção forçada.
Passo 4
O número de Reynolds é dado por:
Onde:
-
é a densidade do fluido, -
é a velocidade do fluido que queremos encontrar, -
é a viscosidade dinâmica do fluido.
Nosso objetivo é isolar
nessa equação.
Passo 5
Voltando à equação do número de Nusselt:
Substituindo
:
E lembrando que:
Onde
é a capacidade calorífica a pressão constante do fluido.
Passo 6
Agora, expressamos o coeficiente de transferência de calor
em termos de
:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos voltar à equação da transferência de calor:
Onde a área superficial
do fio é:
Assumindo que o comprimento
é constante e pode ser considerado como 1 metro para simplificar, temos:
Substituindo
:
Passo 8
Agora, queremos isolar
. Vamos rearranjar a equação:
Simplificando, chegamos à expressão para a velocidade do fluido em termos da diferença de temperatura.
Resposta
A velocidade do fluido
pode ser expressa por: