Um fio metálico com diâmetro D está posicionado transversalmente a uma passagem para determinar a velocidade do escoamento a partir de características de transferência de calor. Uma corrente elétrica é passada através do fio para aquecê-lo e o calor é dissipado por convecção por um fluido em escoamento. A resistência elétrica do fio é determinada por medidas elétricas e sua temperatura é conhecida a partir dessa resistência.
a) Para um fluido com número de Prandtl arbitrário, desenvolva uma expressão para sua velocidade em termos da diferença entre a temperatura do fio e a temperatura da corrente livre do fluido.
b) Qual é a velocidade de uma corrente de ar a 1 atm e 250 C, se um fio com 0,5 mm de diâmetro atinge uma temperatura de 40^circ C enquanto dissipa 35 W / m ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um fio metálico com diâmetro D que está atravessando uma passagem para medir a velocidade do fluido que está escoando. A gente precisa usar conceitos de transferência de calor por convecção para resolver isso. No primeiro item (a), a gente precisa desenvolver uma expressão para a velocidade do fluido em termos da diferença de temperatura entre o fio e a temperatura do fluido. Para isso, vamos precisar dos conceitos de convecção forçada, número de Prandtl e as relações que ligam transferência de calor à velocidade do fluido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transferência de calor por convecção pode ser descrita pela equação:
Q = h cdot A cdot De
Onde:
  • é a taxa de transferência de calor,
  • é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
  • é a área superficial do fio,
  • é a diferença de temperatura entre o fio e o fluido.

Passo 3

O coeficiente de transferência de calor Nu = h cdot Dk pode ser relacionado ao número de Nusselt ( Nu = C cdot Re^m cdot Pr^n ) pela seguinte relação:
Onde:
  • é o diâmetro do fio,
  • é a condutividade térmica do fluido.
Também sabemos que o número de Nusselt está relacionado ao número de Reynolds ( ) e ao número de Prandtl ( ):
Para um número de Prandtl arbitrário, vamos considerar uma relação geral. Mas para simplificar, vamos assumir que é proporcional a , que é comum em muitos casos de convecção forçada.

Passo 4

O número de Reynolds é dado por:
Re = rho cdot V cdot Dmu
Onde:
  • é a densidade do fluido,
  • é a velocidade do fluido que queremos encontrar,
  • é a viscosidade dinâmica do fluido.
Nosso objetivo é isolar nessa equação.

Passo 5

Voltando à equação do número de Nusselt:
Nu = C cdot Re^1/2 cdot Pr^1/3
Substituindo Nu = C cdot ( rho cdot V cdot Dmu )^1/2 cdot Pr^1/3 :
Pr = cp cdot muk
E lembrando que:
Onde é a capacidade calorífica a pressão constante do fluido.

Passo 6

Agora, expressamos o coeficiente de transferência de calor h = Nu cdot kD em termos de h = C cdot ( rho cdot V cdot Dmu )^1/2 cdot Pr^1/3 cdot kD :
h = C cdot k cdot ( rho cdot Vmu cdot D )^1/2 cdot Pr^1/3
Substituindo :
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos voltar à equação da transferência de calor:
Q = h cdot A cdot De
Onde a área superficial A = pi cdot D cdot L do fio é:
Q = h cdot pi cdot D cdot De
Assumindo que o comprimento Q = C cdot k cdot ( rho cdot Vmu cdot D )^1/2 cdot Pr^1/3 cdot pi cdot D cdot De é constante e pode ser considerado como 1 metro para simplificar, temos:
Substituindo :

Passo 8

Agora, queremos isolar V = ( QC cdot k cdot pi cdot D cdot De. Vamos rearranjar a equação:
Simplificando, chegamos à expressão para a velocidade do fluido em termos da diferença de temperatura.

Resposta

A velocidade do fluido V = ( QC cdot pi cdot D cdot k cdot De pode ser expressa por:

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