Um fio metálico com diâmetro D está posicionado transversalmente a uma passagem para determinar a velocidade do escoamento a partir de características de transferência de calor. Uma corrente elétrica é passada através do fio para aquecê-lo e o calor é dissipado por convecção por um fluido em escoamento. A resistência elétrica do fio é determinada por medidas elétricas e sua temperatura é conhecida a partir dessa resistência.
a) Para um fluido com número de Prandtl arbitrário, desenvolva uma expressão para sua velocidade em termos da diferença entre a temperatura do fio e a temperatura da corrente livre do fluido.
b) Qual é a velocidade de uma corrente de ar a 1 atm e 250 C, se um fio com 0,5 mm de diâmetro atinge uma temperatura de C enquanto dissipa ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um fio metálico com diâmetro D que está atravessando uma passagem para medir a velocidade do fluido que está escoando. A gente precisa usar conceitos de transferência de calor por convecção para resolver isso. No primeiro item (a), a gente precisa desenvolver uma expressão para a velocidade do fluido em termos da diferença de temperatura entre o fio e a temperatura do fluido. Para isso, vamos precisar dos conceitos de convecção forçada, número de Prandtl e as relações que ligam transferência de calor à velocidade do fluido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transferência de calor por convecção pode ser descrita pela equação:
Onde:
  • é a taxa de transferência de calor,
  • é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
  • é a área superficial do fio,
  • é a diferença de temperatura entre o fio e o fluido.

Passo 3

O coeficiente de transferência de calor pode ser relacionado ao número de Nusselt ( ) pela seguinte relação:
Onde:
  • é o diâmetro do fio,
  • é a condutividade térmica do fluido.
Também sabemos que o número de Nusselt está relacionado ao número de Reynolds ( ) e ao número de Prandtl ( ):
Para um número de Prandtl arbitrário, vamos considerar uma relação geral. Mas para simplificar, vamos assumir que é proporcional a , que é comum em muitos casos de convecção forçada.

Passo 4

O número de Reynolds é dado por:
Onde:
  • é a densidade do fluido,
  • é a velocidade do fluido que queremos encontrar,
  • é a viscosidade dinâmica do fluido.
Nosso objetivo é isolar nessa equação.

Passo 5

Voltando à equação do número de Nusselt:
Substituindo :
E lembrando que:
Onde é a capacidade calorífica a pressão constante do fluido.

Passo 6

Agora, expressamos o coeficiente de transferência de calor em termos de :
Substituindo :
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos voltar à equação da transferência de calor:
Onde a área superficial do fio é:
Assumindo que o comprimento é constante e pode ser considerado como 1 metro para simplificar, temos:
Substituindo :

Passo 8

Agora, queremos isolar . Vamos rearranjar a equação:
Simplificando, chegamos à expressão para a velocidade do fluido em termos da diferença de temperatura.

Resposta

A velocidade do fluido pode ser expressa por:

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