Um fio de níquel de seção transversal de 8.5 times 10^-3 cm^2 sob uma tensão de 20 N e uma temperatura de 293 K é esticada entre dois suportes rígidos a um metro de separação. Se a temperatura é reduzida para 281 K, qual será a tensão final? O coeficiente de dilatação térmica é 1.33 times 10^-5 K^-1 e o módulo de Young é 2.1 times 10^6 Pa.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fio de níquel com uma determinada área de seção transversal, submetido a uma tensão de 20 N a uma temperatura inicial de 293 K. Esse fio está esticado entre dois suportes que estão a um metro de distância. A temperatura é então reduzida para 281 K, e precisamos descobrir qual será a nova tensão no fio. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dilatação térmica e do módulo de Young.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a variação de comprimento do fio devido à mudança de temperatura. A fórmula para dilatação linear é:
De
Onde:
  • é a variação de comprimento,
  • é o comprimento original,
  • é o coeficiente de dilatação térmica,
  • é a variação de temperatura.

Passo 3

Vamos calcular a variação de temperatura ( De):

Passo 4

Agora, aplicamos os valores na fórmula da dilatação linear:
De
Isso significa que o fio vai encolher 1.596 mm.

Passo 5

Como o fio está preso entre dois suportes rígidos, essa contração vai gerar uma força interna de tensão. A relação entre a variação de comprimento e a tensão é dada pela fórmula do módulo de Young:
sigma = Y cdot De
Onde:
  • é a tensão,
  • é o módulo de Young,
  • é a variação de comprimento,
  • é o comprimento original.

Passo 6

Vamos calcular a tensão causada pela contração térmica:
sigmatermo = 2.1 times 10^6 , Pa times -0.001596 , m1 , m = -3341.6 , Pa
O sinal negativo indica que a tensão está contrária à força original.

Passo 7

Agora, somamos a tensão inicial com a tensão adicional causada pela contração térmica:
sigmatotal = sigmainicial + sigmatermo = 20 , N + (-3341.6 , Pa times 8.5 times 10^-5 , m^2)
sigmatotal = 20 , N - 0.283 , N = 19.717 , N

Resposta

A tensão final no fio é aproximadamente 19,72 N.

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