Um fio de raio a, ao longo do eixo z está envolto em uma casca cilíndrica de raio b formando um cabo coaxial. No fio há uma densidade de corrente uniforme J=j k, sendo J, k constantes positivas.
Calcule o campo magnético no na região exterior da casca cilíndrica (rho>b) -

Passo 1

Entendendo o Problema:
Estamos lidando com um exercício de Eletromagnetismo que envolve o cálculo do campo magnético criado por um cabo coaxial. O cabo consiste em um fio de raio , que está centralizado no eixo , e é envolvido por uma casca cilíndrica de raio . No fio, há uma densidade de corrente uniforme dada por , onde e são constantes positivas. Nosso objetivo é calcular o campo magnético na região externa à casca cilíndrica, ou seja, para .
Conteúdo da Matéria e Ferramentas Necessárias:
Para resolver este problema, vamos utilizar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético ao redor de um caminho fechado com a corrente que passa por esse caminho. Também vamos precisar conhecer a simetria do sistema para aplicar a lei de forma eficiente.

Passo 2

Aplicando a Lei de Ampère:
A Lei de Ampère é dada por:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
onde:
  • é a integral de linha do campo magnético ao longo de um caminho fechado.
  • é a constante de permeabilidade magnética do vácuo.
  • é a corrente total que atravessa a superfície delimitada pelo caminho.
Para sistemas com simetria cilíndrica, como este cabo coaxial, é conveniente escolher um caminho de Ampère que seja um círculo concêntrico com os condutores.

Passo 3

Determinando a Escolha do Caminho de Ampère:
Como estamos interessados no campo magnético para , escolhemos um caminho circular de raio que envolve tanto o fio quanto a casca cilíndrica. Devido à simetria cilíndrica, o campo magnético terá a mesma magnitude em todo o caminho e será tangencial ao círculo escolhido.

Passo 4

Calculando a Corrente Envolvida I = J cdot Área do fio = j cdot pi a^2 :
A corrente total Ienc = j pi a^2 que atravessa o caminho de Ampère é a corrente que passa pelo fio. A densidade de corrente no fio é , o que implica que a corrente total no fio é:
Á
A casca cilíndrica de raio não está fornecida com uma densidade de corrente, portanto, assumimos que não há corrente na casca. Assim, a corrente total envolvida é somente a corrente no fio:

Passo 5

Aplicando a Lei de Ampère para Encontrar oint B cdot dl = B cdot 2pi rho = mu0 Ienc = mu0 j pi a^2 :
Substituindo na Lei de Ampère:
B cdot 2pi rho = mu0 j pi a^2 B = mu0 j pi a^22pi rho B = mu0 j a^22 rho
Resolvendo para :

Resposta

O campo magnético na região exterior à casca cilíndrica ( B = mu0 j a^22 rho ) é dado por:

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