Um fio de raio
, ao longo do eixo z está envolto em uma casca cilíndrica de raio
formando um cabo coaxial. No fio há uma densidade de corrente uniforme
, sendo
constantes positivas.
Calcule o campo magnético no na região exterior da casca cilíndrica
Calcule o campo magnético no na região exterior da casca cilíndrica
Passo 1
Entendendo o Problema:
Estamos lidando com um exercício de Eletromagnetismo que envolve o cálculo do campo magnético criado por um cabo coaxial. O cabo consiste em um fio de raio
, que está centralizado no eixo
, e é envolvido por uma casca cilíndrica de raio
. No fio, há uma densidade de corrente uniforme dada por
, onde
e
são constantes positivas. Nosso objetivo é calcular o campo magnético na região externa à casca cilíndrica, ou seja, para
.
Conteúdo da Matéria e Ferramentas Necessárias:
Para resolver este problema, vamos utilizar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético ao redor de um caminho fechado com a corrente que passa por esse caminho. Também vamos precisar conhecer a simetria do sistema para aplicar a lei de forma eficiente.
Passo 2
Aplicando a Lei de Ampère:
A Lei de Ampère é dada por:
onde:
-
é a integral de linha do campo magnético ao longo de um caminho fechado. -
é a constante de permeabilidade magnética do vácuo. -
é a corrente total que atravessa a superfície delimitada pelo caminho.
Para sistemas com simetria cilíndrica, como este cabo coaxial, é conveniente escolher um caminho de Ampère que seja um círculo concêntrico com os condutores.
Passo 3
Determinando a Escolha do Caminho de Ampère:
Como estamos interessados no campo magnético para
, escolhemos um caminho circular de raio
que envolve tanto o fio quanto a casca cilíndrica. Devido à simetria cilíndrica, o campo magnético
terá a mesma magnitude em todo o caminho e será tangencial ao círculo escolhido.
Passo 4
Calculando a Corrente Envolvida
:
A corrente total
que atravessa o caminho de Ampère é a corrente que passa pelo fio. A densidade de corrente no fio é
, o que implica que a corrente total no fio é:
A casca cilíndrica de raio
não está fornecida com uma densidade de corrente, portanto, assumimos que não há corrente na casca. Assim, a corrente total envolvida é somente a corrente no fio:
Passo 5
Aplicando a Lei de Ampère para Encontrar
:
Substituindo na Lei de Ampère:
Resolvendo para
:
Resposta
O campo magnético na região exterior à casca cilíndrica (
) é dado por: