Um fio de raio a, ao longo do eixo z está envolto em uma casca cilíndrica de raio b formando um cabo coaxial. No fio há uma densidade de corrente uniforme J=j k, sendo J, k constantes positivas.
Calcule o campo magnético B em todos os pontos do volume delimitada Pela casca cilíndrica ( isto é, nos pontos 0 <= rho, onde rho é a distância do O eixo z).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Eletromagnetismo que envolve calcular o campo magnético dentro de um cabo coaxial. Temos um fio de raio que transporta uma densidade de corrente uniforme ao longo do eixo , e esse fio está envolto por uma casca cilíndrica de raio . Nosso objetivo é encontrar o campo magnético em qualquer ponto onde a distância do eixo seja . Para isso, vamos utilizar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético à corrente elétrica que passa por uma determinada área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Lei de Ampère. Ela nos diz que a integral de linha do campo magnético oint B cdot dl = mu0 Ienc ao longo de um caminho fechado é igual à permeabilidade magnética do vácuo multiplicada pela corrente elétrica total que passa através da superfície delimitada por esse caminho. Em fórmula:

Passo 3

Devido à simetria cilíndrica do problema, é conveniente escolher um caminho fechado (anel de Ampère) que seja um círculo de raio concêntrico com o fio e a casca. Isso simplifica os cálculos porque o campo magnético terá a mesma magnitude em todos os pontos do anel e será tangencial a ele.

Passo 4

Vamos calcular a integral de linha do campo magnético ao longo desse anel de Ampère:
oint B cdot dl = B cdot 2pirho
Aqui, é a magnitude do campo magnético que queremos encontrar.

Passo 5

Agora, precisamos determinar a corrente total Itotal = j cdot pi a^2 que passa pelo anel de Ampère. Como a corrente está distribuída uniformemente no fio de raio , a densidade de corrente significa que a corrente por unidade de área é . A área do fio é , então a corrente total no fio é:
No entanto, estamos interessados apenas na corrente que está dentro do raio . Se , toda a corrente está dentro do anel. Se , a corrente total ainda está dentro do anel porque a corrente está confinada ao fio de raio .

Passo 6

Aplicando a Lei de Ampère:
B cdot 2pirho = mu0 Ienc
Substituindo B cdot 2pirho = mu0 j pi a^2 por B = mu0 j a^22rho :
Agora, resolvemos para :

Resposta

O campo magnético B = mu0 j a^22rho , phi em qualquer ponto onde é dado por:
Onde é o vetor unitário na direção tangencial ao círculo de raio .

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