Um fio de raio
, ao longo do eixo z está envolto em uma casca cilíndrica de raio
formando um cabo coaxial. No fio há uma densidade de corrente uniforme
, sendo
constantes positivas.
Calcule o campo magnético
em todos os pontos do volume delimitada Pela casca cilíndrica ( isto é, nos pontos
, onde
é a distância do O eixo z).
Calcule o campo magnético
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Eletromagnetismo que envolve calcular o campo magnético
dentro de um cabo coaxial. Temos um fio de raio
que transporta uma densidade de corrente uniforme
ao longo do eixo
, e esse fio está envolto por uma casca cilíndrica de raio
. Nosso objetivo é encontrar o campo magnético em qualquer ponto onde a distância do eixo
seja
. Para isso, vamos utilizar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético à corrente elétrica que passa por uma determinada área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Lei de Ampère. Ela nos diz que a integral de linha do campo magnético
ao longo de um caminho fechado é igual à permeabilidade magnética do vácuo
multiplicada pela corrente elétrica total
que passa através da superfície delimitada por esse caminho. Em fórmula:
Passo 3
Devido à simetria cilíndrica do problema, é conveniente escolher um caminho fechado (anel de Ampère) que seja um círculo de raio
concêntrico com o fio e a casca. Isso simplifica os cálculos porque o campo magnético
terá a mesma magnitude em todos os pontos do anel e será tangencial a ele.
Passo 4
Vamos calcular a integral de linha do campo magnético ao longo desse anel de Ampère:
Aqui,
é a magnitude do campo magnético que queremos encontrar.
Passo 5
Agora, precisamos determinar a corrente total
que passa pelo anel de Ampère. Como a corrente está distribuída uniformemente no fio de raio
, a densidade de corrente
significa que a corrente por unidade de área é
. A área do fio é
, então a corrente total no fio é:
No entanto, estamos interessados apenas na corrente que está dentro do raio
. Se
, toda a corrente está dentro do anel. Se
, a corrente total ainda está dentro do anel porque a corrente está confinada ao fio de raio
.
Passo 6
Aplicando a Lei de Ampère:
Substituindo
por
:
Agora, resolvemos para
:
Resposta
O campo magnético
em qualquer ponto onde
é dado por:
Onde
é o vetor unitário na direção tangencial ao círculo de raio
.