Um fio rompe quando a tração que age nele excede . Se o fio, que não está necessariamente na horizontal, é usado para arrastar uma caixa pela chão, qual é o maior peso que pode ser movido considerando que o coeficiente de atrito estático é 0,35 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um fio que quebra quando a tração nele excede . Esse fio está puxando uma caixa no chão, e o coeficiente de atrito estático entre a caixa e o chão é . Nosso objetivo é descobrir qual é o maior peso que a caixa pode ter para ainda ser movida sem quebrar o fio.
Vamos precisar usar conceitos de Força de Tração, Força de Atrito e Equilíbrio de Forças para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as forças que agem na caixa:
  • Peso ( ): É a força da gravidade puxando a caixa para baixo.
  • Força de Tração ( ): É a força que o fio exerce para puxar a caixa. Ela pode ter componentes horizontal e vertical.
  • Força Normal ( ): É a força que o chão exerce na caixa para equilibrar o peso e a componente vertical da tração.
  • Força de Atrito ( ): É a resistência do chão contra o movimento da caixa, calculada pela fórmula , onde é o coeficiente de atrito estático.

Passo 3

Vamos considerar que o fio faz um ângulo com a horizontal. Assim, podemos decompor a força de tração em duas componentes:
  • Componente Horizontal ( ): É responsável por puxar a caixa.
  • Componente Vertical ( ): Pode reduzir a força normal.
Como o sistema está em equilíbrio quando a caixa está prestes a se mover, as forças horizontais e verticais devem se equilibrar.

Passo 4

Primeiro, vamos equilibrar as forças horizontais:
Agora, equilibrando as forças verticais:
Substituindo na primeira equação:

Passo 5

Nosso objetivo é encontrar o máximo peso que a caixa pode ter sem quebrar o fio. Sabemos que a tração máxima á é . Vamos substituir por á na equação:
áá
Queremos encontrar , então vamos isolar :
áá

Passo 6

Para maximizar , precisamos encontrar o ângulo que maximiza essa expressão. Vamos derivar em relação a e igualar a zero:
áá
Resolvendo para :
Então, o ângulo ótimo é:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na equação de :
áá
Sabemos que:
Substituindo esses valores:
áááá

Passo 8

Vamos agora substituir os valores numéricos:
á
Calculando:

Resposta

O maior peso que pode ser movido é aproximadamente .

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