Um fio rompe quando a tração que age nele excede
. Se o fio, que não está necessariamente na horizontal, é usado para arrastar uma caixa pela chão, qual é o maior peso que pode ser movido considerando que o coeficiente de atrito estático é 0,35 ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um fio que quebra quando a tração nele excede
. Esse fio está puxando uma caixa no chão, e o coeficiente de atrito estático entre a caixa e o chão é
. Nosso objetivo é descobrir qual é o maior peso que a caixa pode ter para ainda ser movida sem quebrar o fio.
Vamos precisar usar conceitos de Força de Tração, Força de Atrito e Equilíbrio de Forças para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar as forças que agem na caixa:
- Peso (
): É a força da gravidade puxando a caixa para baixo. - Força de Tração (
): É a força que o fio exerce para puxar a caixa. Ela pode ter componentes horizontal e vertical. - Força Normal (
): É a força que o chão exerce na caixa para equilibrar o peso e a componente vertical da tração. - Força de Atrito (
): É a resistência do chão contra o movimento da caixa, calculada pela fórmula , onde é o coeficiente de atrito estático.
Passo 3
Vamos considerar que o fio faz um ângulo
com a horizontal. Assim, podemos decompor a força de tração
em duas componentes:
- Componente Horizontal (
): É responsável por puxar a caixa. - Componente Vertical (
): Pode reduzir a força normal.
Como o sistema está em equilíbrio quando a caixa está prestes a se mover, as forças horizontais e verticais devem se equilibrar.
Passo 4
Primeiro, vamos equilibrar as forças horizontais:
Agora, equilibrando as forças verticais:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 5
Nosso objetivo é encontrar o máximo peso
que a caixa pode ter sem quebrar o fio. Sabemos que a tração máxima
é
. Vamos substituir
por
na equação:
Queremos encontrar
, então vamos isolar
:
Passo 6
Para maximizar
, precisamos encontrar o ângulo
que maximiza essa expressão. Vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Resolvendo para
:
Então, o ângulo ótimo é:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na equação de
:
Sabemos que:
Substituindo esses valores:
Passo 8
Vamos agora substituir os valores numéricos:
Calculando:
Resposta
O maior peso que pode ser movido é aproximadamente
.