Um fio rompe quando a tração que age nele excede 1,22 N. Se o fio, que não está necessariamente na horizontal, é usado para arrastar uma caixa pela chão, qual é o maior peso que pode ser movido considerando que o coeficiente de atrito estático é 0,35 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um fio que quebra quando a tração nele excede 1,22 N. Esse fio está puxando uma caixa no chão, e o coeficiente de atrito estático entre a caixa e o chão é 0,35. Nosso objetivo é descobrir qual é o maior peso que a caixa pode ter para ainda ser movida sem quebrar o fio.
Vamos precisar usar conceitos de Força de Tração, Força de Atrito e Equilíbrio de Forças para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as forças que agem na caixa:
  • Peso ( W): É a força da gravidade puxando a caixa para baixo.
  • Força de Tração ( T): É a força que o fio exerce para puxar a caixa. Ela pode ter componentes horizontal e vertical.
  • Força Normal ( N): É a força que o chão exerce na caixa para equilibrar o peso e a componente vertical da tração.
  • Força de Atrito ( f): É a resistência do chão contra o movimento da caixa, calculada pela fórmula f = mus N, onde mus é o coeficiente de atrito estático.

Passo 3

Vamos considerar que o fio faz um ângulo theta com a horizontal. Assim, podemos decompor a força de tração T em duas componentes:
  • Componente Horizontal ( T costheta): É responsável por puxar a caixa.
  • Componente Vertical ( T sintheta): Pode reduzir a força normal.
Como o sistema está em equilíbrio quando a caixa está prestes a se mover, as forças horizontais e verticais devem se equilibrar.

Passo 4

Primeiro, vamos equilibrar as forças horizontais:
T costheta = f = mus N
Agora, equilibrando as forças verticais:
N = W - T sintheta
Substituindo N na primeira equação:
T costheta = mus (W - T sintheta)

Passo 5

Nosso objetivo é encontrar o máximo peso W que a caixa pode ter sem quebrar o fio. Sabemos que a tração máxima Tmáxá é 1,22 N. Vamos substituir T por Tmáxá na equação:
Tmáx costheta = mus (W - Tmáx sintheta) áá
Queremos encontrar W, então vamos isolar W:
W = Tmáx costhetamus + Tmáx sintheta áá

Passo 6

Para maximizar W, precisamos encontrar o ângulo theta que maximiza essa expressão. Vamos derivar W em relação a theta e igualar a zero:
dWdtheta = -Tmáx sinthetamus + Tmáx costheta = 0 áá
Resolvendo para theta:
-sinthetamus + costheta = 0 tantheta = mus
Então, o ângulo ótimo é:
theta = arctan(mus)

Passo 7

Agora, substituímos theta = arctan(mus) de volta na equação de W:
W = Tmáx cos(arctan(mus))mus + Tmáx sin(arctan(mus)) áá
Sabemos que:
cos(arctan(mus)) = 1raiz1 + mus^2 sin(arctan(mus)) = musraiz1 + mus^2
Substituindo esses valores:
W = Tmáxmus raiz1 + mus^2 + Tmáx musraiz1 + mus^2 W = Tmáx (1 + mus^2)mus raiz1 + mus^2 W = Tmáx raiz1 + mus^2mus áááá

Passo 8

Vamos agora substituir os valores numéricos:
Tmáx = 1,22 N mus = 0,35 á
Calculando:
W = 1,22 times raiz1 + 0,35^20,35 W = 1,22 times raiz1 + 0,12250,35 W = 1,22 times raiz1,12250,35 W = 1,22 times 1,05950,35 W approx 1,2940,35 W approx 3,7 N

Resposta

O maior peso que pode ser movido é aproximadamente 3,7 N.

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