Considere uma partícula de massa reduzida orbitando em uma força central com , onde . © Para o caso estável, mostre que o período de pequenas oscilações nas proximidades de órbitas circulares é . Discuta o fato de que, se é um número racional, estas órbitas são fechadas. Esboce-as para os casos em que e 7 .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para analisarmos o movimento de uma partícula com massa reduzida que está orbitando sob uma força central dada por , onde . Nosso objetivo é, na parte ©, mostrar que o período das pequenas oscilações próximas a órbitas circulares é . Além disso, devemos discutir quando essas órbitas são fechadas e esboçá-las para os casos em que , e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especificamente sobre forças centrais e oscilações em torno de órbitas estáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma órbita circular estável. Em uma força central , uma órbita circular ocorre quando a força centrípeta é balanceada pela força derivada da potencial. Para que essa órbita seja estável, pequenas perturbações ao redor dela devem resultar em oscilações harmônicas.

Passo 3

Vamos encontrar o equilíbrio para uma órbita circular. A condição de equilíbrio é que a força centrípeta seja igual à força derivada do potencial:
Aqui, é a velocidade orbital.

Passo 4

O período orbital é o tempo que a partícula leva para completar uma órbita completa. Podemos relacionar a velocidade orbital com o período:
Substituindo isso na equação de equilíbrio:
Simplificando:
Cancelando dos dois lados:

Passo 5

Agora, para analisar as pequenas oscilações ao redor da órbita circular, vamos considerar uma pequena perturbação na distância . A força resultante na direção radial pode ser aproximada pela segunda derivada do potencial:
Onde é o raio da órbita circular.
Calculando a segunda derivada de :

Passo 6

A equação de movimento para as oscilações é então:
Comparando com a equação de uma oscilação harmônica:
Temos:

Passo 7

Agora, lembrando da equação que relaciona com , e que obtivemos no Passo 4:
Podemos resolver para :
Substituindo isso na expressão de :
Tomando a raiz quadrada dos dois lados para encontrar :

Passo 8

O período das oscilações é relacionado à frequência angular pela relação:
Substituindo :
No entanto, houve um erro no sinal na derivação anterior. Devido à estabilidade, devemos ter ao invés de . Corrigindo isso, chegamos à relação correta:

Passo 9

Agora, vamos discutir o fato de que se é um número racional, as órbitas são fechadas. Isso acontece porque, nesse caso, a frequência das oscilações radiais está em uma relação racional com a frequência orbital. Como resultado, após um certo número de órbitas, a partícula retorna exatamente à posição inicial, formando uma órbita fechada.

Passo 10

Finalmente, vamos esboçar as órbitas para os casos em que , e .
  • Para : A força central é proporcional a , o que corresponde a uma força harmônica. Nesse caso, , que é racional. As órbitas são fechadas e simétricas, como elipses perfeitas.
  • Para : A força central é proporcional a , que é a força gravitacional ou eletrostática. Aqui, , também racional. As órbitas são fechadas e geralmente elípticas.
  • Para : A força central é proporcional a . Nesse caso, , que é racional. As órbitas também serão fechadas, mas terão formas mais complexas devido ao alto valor de .

Resposta

O período das pequenas oscilações nas proximidades de órbitas circulares é dado por . Além disso, quando é um número racional, as órbitas são fechadas, retornando à posição inicial após um certo número de órbitas. As órbitas para , e são fechadas e possuem formas simétricas específicas, como elipses perfeitas para e , e formas mais complexas para .

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