Verifique se as posições de duas partículas podem ser escritas em termos do CM e posições relativas como
e
. Portanto, confirme que a EC total de duas partículas pode ser expressa como
, onde
denota a massa reduzida
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem duas partículas com massas
e
, e queremos ver se as posições delas podem ser escritas em termos do centro de massa (
) e da posição relativa (
). Além disso, a questão quer que a gente confirme se a energia cinética total (
) pode ser expressa de uma forma específica usando a massa reduzida (
). Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica clássica, como centro de massa e energia cinética.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o centro de massa (
) e a posição relativa (
) das duas partículas. O centro de massa é o ponto onde se pode considerar que toda a massa do sistema está concentrada. A posição relativa é a distância entre as duas partículas.
Matematicamente, o centro de massa é dado por:
E a posição relativa é:
Passo 3
Agora, queremos expressar as posições individuais das partículas (
e
) em termos de
e
. Vamos resolver as duas equações que definem
e
para
e
.
A partir da definição do centro de massa:
onde
.
Isolando
:
Agora, usando a posição relativa
, substituímos
:
Substituindo
de volta na expressão de
:
Portanto, temos:
O que confirma as expressões dadas na questão.
Passo 4
Agora, vamos verificar a expressão da energia cin��tica total (
) das duas partículas. A energia cinética de uma partícula é dada por:
onde
é a velocidade da partícula.
Para o sistema de duas partículas, a energia cinética total é:
Passo 5
Vamos substituir
e
pelas expressões em termos de
e
:
Expandindo os quadrados:
Agora, vamos somar os termos semelhantes:
onde
é a massa total e
é a massa reduzida.
Resposta
Conseguimos sim, a energia cinética total das duas partículas pode ser expressa como:
onde
e
.