Verifique se as posições de duas partículas podem ser escritas em termos do CM e posições relativas como e . Portanto, confirme que a EC total de duas partículas pode ser expressa como , onde denota a massa reduzida .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem duas partículas com massas e , e queremos ver se as posições delas podem ser escritas em termos do centro de massa ( ) e da posição relativa ( ). Além disso, a questão quer que a gente confirme se a energia cinética total ( ) pode ser expressa de uma forma específica usando a massa reduzida ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica clássica, como centro de massa e energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o centro de massa ( ) e a posição relativa ( ) das duas partículas. O centro de massa é o ponto onde se pode considerar que toda a massa do sistema está concentrada. A posição relativa é a distância entre as duas partículas.
Matematicamente, o centro de massa é dado por:
E a posição relativa é:

Passo 3

Agora, queremos expressar as posições individuais das partículas ( e ) em termos de e . Vamos resolver as duas equações que definem e para e .
A partir da definição do centro de massa:
onde .
Isolando :
Agora, usando a posição relativa , substituímos :
Substituindo de volta na expressão de :
Portanto, temos:
O que confirma as expressões dadas na questão.

Passo 4

Agora, vamos verificar a expressão da energia cin��tica total ( ) das duas partículas. A energia cinética de uma partícula é dada por:
onde é a velocidade da partícula.
Para o sistema de duas partículas, a energia cinética total é:

Passo 5

Vamos substituir e pelas expressões em termos de e :
Expandindo os quadrados:
Agora, vamos somar os termos semelhantes:
onde é a massa total e é a massa reduzida.

Resposta

Conseguimos sim, a energia cinética total das duas partículas pode ser expressa como:
onde e .

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