Duas massas
e
se movem em um plano e interagem por uma energia potencial
. Obtenha a Lagrangiana em termos do CM e posições relativas
e
determine as equações de movimento para as coordenadas
e
. Descreva o movimento e determine a frequência do movimento relativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a Lagrangiana de dois corpos com massas
e
que interagem por uma energia potencial
. A gente vai trabalhar com as coordenadas do centro de massa (CM) e as posições relativas
e
. Além disso, precisamos derivar as equações de movimento para as coordenadas
(do CM) e
(relativas), descrever o movimento e achar a frequência do movimento relativo. Vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especificamente a formulação lagrangiana, que combina energia cinética e potencial para descrever o sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as coordenadas do centro de massa. As coordenadas do CM,
, são dadas por:
Aqui,
e
são as posições dos corpos
e
, respectivamente.
Passo 3
A posição relativa
é a diferença entre as posições dos dois corpos:
Isso simplifica a análise, separando o movimento do centro de massa do movimento relativo entre os dois corpos.
Passo 4
Agora, vamos expressar as posições individuais
e
em termos de
e
:
Isso ajuda a separar as variáveis no problema.
Passo 5
Vamos calcular a energia cinética total do sistema. A energia cinética de cada massa é:
Somando as duas, temos a energia cinética total:
Ao substituir
e
em termos de
e
e expandir, obtemos:
onde
é a massa reduzida.
Passo 6
A energia potencial do sistema é dada por:
Onde
é a distância entre as duas massas.
Passo 7
A Lagrangiana
é a diferença entre a energia cin��tica
e a energia potencial
:
Passo 8
Agora, vamos derivar as equações de movimento usando as Equações de Euler-Lagrange para cada coordenada
.
Primeiro, para
:
Calculando as derivadas:
Então, a equação de movimento para
é:
O mesmo vale para
:
Passo 9
Agora, para as coordenadas relativas
e
:
Primeiro, para
:
Calculando as derivadas:
Então, a equação de movimento para
é:
O mesmo vale para
:
Passo 10
As equações de movimento para
e
indicam que o centro de massa se move com velocidade constante, já que
e
.
Para as coordenadas relativas
e
, as equações são de oscilações harmônicas simples:
Onde
é a frequência angular do movimento relativo.
Passo 11
Agora, vamos calcular
substituindo
:
Passo 12
Resumindo o movimento:
- O centro de massa se move de forma retilínea com velocidade constante.
- As posições relativas
e oscilam harmonicamente com frequência .
Resposta
A Lagrangiana do sistema em termos do centro de massa
e da posição relativa
é:
As equações de movimento são:
onde
.
O movimento do sistema consiste em um movimento retilíneo uniforme do centro de massa, enquanto as posições relativas oscilam harmonicamente com frequência
.