Duas massas e se movem em um plano e interagem por uma energia potencial . Obtenha a Lagrangiana em termos do CM e posições relativas e determine as equações de movimento para as coordenadas e . Descreva o movimento e determine a frequência do movimento relativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a Lagrangiana de dois corpos com massas e que interagem por uma energia potencial . A gente vai trabalhar com as coordenadas do centro de massa (CM) e as posições relativas e . Além disso, precisamos derivar as equações de movimento para as coordenadas (do CM) e (relativas), descrever o movimento e achar a frequência do movimento relativo. Vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especificamente a formulação lagrangiana, que combina energia cinética e potencial para descrever o sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as coordenadas do centro de massa. As coordenadas do CM, , são dadas por:
Aqui, e são as posições dos corpos e , respectivamente.

Passo 3

A posição relativa é a diferença entre as posições dos dois corpos:
Isso simplifica a análise, separando o movimento do centro de massa do movimento relativo entre os dois corpos.

Passo 4

Agora, vamos expressar as posições individuais e em termos de e :
Isso ajuda a separar as variáveis no problema.

Passo 5

Vamos calcular a energia cinética total do sistema. A energia cinética de cada massa é:
Somando as duas, temos a energia cinética total:
Ao substituir e em termos de e e expandir, obtemos:
onde é a massa reduzida.

Passo 6

A energia potencial do sistema é dada por:
Onde é a distância entre as duas massas.

Passo 7

A Lagrangiana é a diferença entre a energia cin��tica e a energia potencial :

Passo 8

Agora, vamos derivar as equações de movimento usando as Equações de Euler-Lagrange para cada coordenada .
Primeiro, para :
Calculando as derivadas:
Então, a equação de movimento para é:
O mesmo vale para :

Passo 9

Agora, para as coordenadas relativas e :
Primeiro, para :
Calculando as derivadas:
Então, a equação de movimento para é:
O mesmo vale para :

Passo 10

As equações de movimento para e indicam que o centro de massa se move com velocidade constante, já que e .
Para as coordenadas relativas e , as equações são de oscilações harmônicas simples:
Onde é a frequência angular do movimento relativo.

Passo 11

Agora, vamos calcular substituindo :

Passo 12

Resumindo o movimento:
  • O centro de massa se move de forma retilínea com velocidade constante.
  • As posições relativas e oscilam harmonicamente com frequência .

Resposta

A Lagrangiana do sistema em termos do centro de massa e da posição relativa é:
As equações de movimento são:
onde .
O movimento do sistema consiste em um movimento retilíneo uniforme do centro de massa, enquanto as posições relativas oscilam harmonicamente com frequência .

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