(d) Assumindo que o cometa pode, de alguma forma, passar livremente pelo Sol, descreva seu movimento completamente e determine seu período.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está pedindo para a gente descrever completamente o movimento de um cometa que pode passar livremente pelo Sol e, além disso, determinar o período desse movimento. Isso envolve conhecimentos de mecânica orbital, especialmente as leis de Kepler, que nos ajudam a entender como os corpos se movem ao redor de outros corpos quando estão sob a influência da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no movimento do cometa. Se o cometa pode passar livremente pelo Sol, isso significa que a atração gravitacional do Sol está agindo sobre ele, fazendo com que ele siga uma trajetória específica. De acordo com a primeira lei de Kepler, o cometa irá se mover em uma órbita elíptica, com o Sol ocupando um dos focos dessa elipse.

Passo 3

Agora, para determinar o período do cometa, que é o tempo que ele leva para completar uma volta ao redor do Sol, vamos usar a terceira lei de Kepler. Essa lei relaciona o período orbital com o semi-eixo maior da órbita. A fórmula é a seguinte:
Onde:
  • é o período orbital;
  • é o semi-eixo maior da órbita elíptica;
  • é a constante gravitacional ( );
  • é a massa do Sol.

Passo 4

Para encontrar o período , precisamos isolar essa variável na fórmula. Vamos fazer isso:
Isso significa que, se conhecermos o valor do semi-eixo maior da órbita do cometa, podemos calcular quanto tempo ele leva para completar uma volta ao redor do Sol.

Passo 5

É importante lembrar que as unidades precisam estar consistentes. Se estiver em metros, em e em quilogramas, o período será calculado em segundos. Caso seja dado em unidades astronômicas (UA), deve-se converter para metros antes de aplicar a fórmula.

Resposta

O período orbital do cometa é dado por:
Onde é o semi-eixo maior da órbita, é a constante gravitacional e é a massa do Sol.

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