(d) Assumindo que o cometa pode, de alguma forma, passar livremente pelo Sol, descreva seu movimento completamente e determine seu período.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está pedindo para a gente descrever completamente o movimento de um cometa que pode passar livremente pelo Sol e, além disso, determinar o período desse movimento. Isso envolve conhecimentos de mecânica orbital, especialmente as leis de Kepler, que nos ajudam a entender como os corpos se movem ao redor de outros corpos quando estão sob a influência da gravidade.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no movimento do cometa. Se o cometa pode passar livremente pelo Sol, isso significa que a atração gravitacional do Sol está agindo sobre ele, fazendo com que ele siga uma trajetória específica. De acordo com a primeira lei de Kepler, o cometa irá se mover em uma órbita elíptica, com o Sol ocupando um dos focos dessa elipse.
Passo 3
Agora, para determinar o período do cometa, que é o tempo que ele leva para completar uma volta ao redor do Sol, vamos usar a terceira lei de Kepler. Essa lei relaciona o período orbital
com o semi-eixo maior
da órbita. A fórmula é a seguinte:
Onde:
-
é o período orbital; -
é o semi-eixo maior da órbita elíptica; -
é a constante gravitacional ( ); -
é a massa do Sol.
Passo 4
Para encontrar o período
, precisamos isolar essa variável na fórmula. Vamos fazer isso:
Isso significa que, se conhecermos o valor do semi-eixo maior
da órbita do cometa, podemos calcular quanto tempo ele leva para completar uma volta ao redor do Sol.
Passo 5
É importante lembrar que as unidades precisam estar consistentes. Se
estiver em metros,
em
e
em quilogramas, o período
será calculado em segundos. Caso
seja dado em unidades astronômicas (UA), deve-se converter para metros antes de aplicar a fórmula.
Resposta
O período orbital
do cometa é dado por:
Onde
é o semi-eixo maior da órbita,
é a constante gravitacional e
é a massa do Sol.