Pela construção explícita das matrizes em questão, demonstre que qualquer matriz T pode ser escrita
(b) como a soma de uma matriz real e uma matriz imaginária

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que qualquer matriz pode ser escrita como a soma de uma matriz real e uma matriz imaginária . Isso faz parte da álgebra de matrizes complexas, onde vamos separar os componentes real e imaginário da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são uma matriz real e uma matriz imaginária:
  • Matriz Real ( ): Todos os elementos são números reais.
  • Matriz Imaginária ( ): Todos os elementos são números imaginários puros, ou seja, podem ser escritos como vezes um número real.
Para separar nesses componentes, usamos a seguinte fórmula:
Aqui, é a matriz conjugada de , onde cada elemento é o conjugado complexo do elemento correspondente em .

Passo 3

Vamos verificar que :
Substituindo e :
Factorizando:
Simplificando os termos:
Então, mostramos que realmente pode ser decomposta em .

Resposta

Qualquer matriz pode ser escrita como a soma de uma matriz real e uma matriz imaginária , ou seja:

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