Pela construção explícita das matrizes em questão, demonstre que qualquer matriz T pode ser escrita
(b) como a soma de uma matriz real e uma matriz imaginária
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que qualquer matriz pode ser escrita como a soma de uma matriz real e uma matriz imaginária . Isso faz parte da álgebra de matrizes complexas, onde vamos separar os componentes real e imaginário da matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são uma matriz real e uma matriz imaginária:
Matriz Real (): Todos os elementos são números reais.
Matriz Imaginária (): Todos os elementos são números imaginários puros, ou seja, podem ser escritos como vezes um número real.
Para separar nesses componentes, usamos a seguinte fórmula:
Aqui, é a matriz conjugada de , onde cada elemento é o conjugado complexo do elemento correspondente em .
Passo 3
Vamos verificar que :
Substituindo e :
Factorizando:
Simplificando os termos:
Então, mostramos que realmente pode ser decomposta em .
Resposta
Qualquer matriz pode ser escrita como a soma de uma matriz real e uma matriz imaginária , ou seja:
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica - 2ª Edição - Capítulo Apêndice.3 - Ex. Problema A. 10b