Demonstre que as linhas e as colunas de uma matriz unitária constituem conjuntos ortonormais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para mostrar que as linhas e as colunas de uma matriz unitária formam conjuntos ortonormais. Isso está relacionado à matéria de álgebra linear, especificamente sobre matrizes unitárias e conceitos de ortonormalidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz unitária e o que significa um conjunto ser ortonormal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz unitária. Uma matriz é chamada de unitária se ela satisfaz a condição:
Aqui, é a matriz conjugada transposta de e é a matriz identidade. Basicamente, isso significa que a matriz multiplicada pela sua conjugada transposta dá a identidade, o que implica que as colunas (e as linhas) de são vetores que possuem comprimento 1 e são ortogonais entre si.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é um conjunto ortonormal. Um conjunto de vetores é ortonormal se cada vetor tem comprimento 1 (é normalizado) e é ortogonal a todos os outros vetores do conjunto. Ou seja, para vetores e de um conjunto ortonormal, temos:
Passo 4
Vamos focar nas colunas de . Chamemos as colunas de de . Queremos mostrar que:
Isso significa que o produto interno entre duas colunas diferentes é zero (ortogonais) e o produto interno de uma coluna consigo mesma é 1 (normalizado).
Passo 5
Podemos usar a propriedade da matriz unitária . Multiplicando as colunas de pela conjugada transposta, obtemos:
Isso significa que , onde é o delta de Kronecker, que é 1 quando e 0 caso contrário. Portanto, as colunas de são ortonormais.
Passo 6
Agora, vamos fazer o mesmo para as linhas de . As linhas de podem ser vistas como as colunas de . Já que é unitária, também é unitária. Aplicando a mesma l��gica que usamos para as colunas, concluímos que as linhas de também formam um conjunto ortonormal.
Resposta
Portanto, demonstramos que tanto as linhas quanto as colunas de uma matriz unitária constituem conjuntos ortonormais.
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica - 2ª Edição - Capítulo Apêndice.3 - Ex. Problema A. 12