Prove as equações A.52, A. 53 e A.58. Demonstre que o produto de duas matrizes unitárias é unitário. Sob quais condições o produto de duas matrizes hermitianas é hermitiano? A soma de duas matrizes unitárias é necessariamente unitária? A soma de duas matrizes hermitianas é hermitiana?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. O exercício pede pra gente provar que:
  1. O produto de duas matrizes unitárias é unitário.
  2. Sob quais condições o produto de duas matrizes hermitianas é hermitiano.
  3. A soma de duas matrizes unitárias é necessariamente unitária?
  4. A soma de duas matrizes hermitianas é hermitiana?
Pra isso, a gente vai precisar entender o que são matrizes unitárias e hermitianas, e como elas se comportam quando fazemos operações com elas, como multiplicação e adição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são matrizes unitárias e hermitianas.
  • Matriz Unitaria: Uma matriz é unitária se ela satisfaz , onde é a matriz adjunta de (ou seja, a transposta conjugada) e é a matriz identidade.
  • Matriz Hermitiana: Uma matriz é hermitiana se ela é igual à sua própria adjunta, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos para a primeira parte do exercício:
1. Provar que o produto de duas matrizes unitárias é unitário.
Para provar isso, vamos considerar duas matrizes unitárias e . Queremos mostrar que também é unitária.
Começamos verificando a definição de matriz unitária para :
Como e são unitárias, sabemos que e . Portanto:
Isso mostra que , então é unitária.

Passo 4

2. Sob quais condições o produto de duas matrizes hermitianas é hermitiano?
Vamos considerar duas matrizes hermitianas e . Queremos descobrir quando é hermitiano.
Para que seja hermitiano, deve-se cumprir .
Calculando a adjunta de :
Como e são hermitianas, e . Então:
Ou seja, para que seja hermitiano, e devem comutar, isto é, .

Passo 5

3. A soma de duas matrizes unitárias é necessariamente unitária?
Vamos analisar se a soma de duas matrizes unitárias e é unitária.
Para ser unitária, deve-se ter:
Calculando o lado esquerdo:
Como e são unitárias, e . Assim:
Para que isso seja igual a , precisaríamos ter , o que geralmente não é o caso. Portanto, a soma de duas matrizes unitárias não é necessariamente unitária.

Passo 6

4. A soma de duas matrizes hermitianas é hermitiana?
Vamos verificar se a soma de duas matrizes hermitianas e é hermitiana.
Calculando a adjunta de :
Como e são hermitianas, e . Então:
Portanto, a soma de duas matrizes hermitianas é hermitiana.

Resposta

  1. Produto de matrizes unitárias: O produto de duas matrizes unitárias é unitário.
  2. Produto de matrizes hermitianas: O produto de duas matrizes hermitianas é hermitiano se elas comutam, ou seja, .
  3. Soma de matrizes unitárias: A soma de duas matrizes unitárias não é necessariamente unitária.
  4. Soma de matrizes hermitianas: A soma de duas matrizes hermitianas é sempre hermitiana.

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