Prove as equações A.52, A. 53 e A.58. Demonstre que o produto de duas matrizes unitárias é unitário. Sob quais condições o produto de duas matrizes hermitianas é hermitiano? A soma de duas matrizes unitárias é necessariamente unitária? A soma de duas matrizes hermitianas é hermitiana?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. O exercício pede pra gente provar que:
- O produto de duas matrizes unitárias é unitário.
- Sob quais condições o produto de duas matrizes hermitianas é hermitiano.
- A soma de duas matrizes unitárias é necessariamente unitária?
- A soma de duas matrizes hermitianas é hermitiana?
Pra isso, a gente vai precisar entender o que são matrizes unitárias e hermitianas, e como elas se comportam quando fazemos operações com elas, como multiplicação e adição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são matrizes unitárias e hermitianas.
-
Matriz Unitaria: Uma matriz
é unitária se ela satisfaz , onde é a matriz adjunta de (ou seja, a transposta conjugada) e é a matriz identidade. -
Matriz Hermitiana: Uma matriz
é hermitiana se ela é igual à sua própria adjunta, ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos para a primeira parte do exercício:
1. Provar que o produto de duas matrizes unitárias é unitário.
Para provar isso, vamos considerar duas matrizes unitárias
e
. Queremos mostrar que
também é unitária.
Começamos verificando a definição de matriz unitária para
:
Como
e
são unitárias, sabemos que
e
. Portanto:
Isso mostra que
, então
é unitária.
Passo 4
2. Sob quais condições o produto de duas matrizes hermitianas é hermitiano?
Vamos considerar duas matrizes hermitianas
e
. Queremos descobrir quando
é hermitiano.
Para que
seja hermitiano, deve-se cumprir
.
Calculando a adjunta de
:
Como
e
são hermitianas,
e
. Então:
Ou seja, para que
seja hermitiano,
e
devem comutar, isto é,
.
Passo 5
3. A soma de duas matrizes unitárias é necessariamente unitária?
Vamos analisar se a soma de duas matrizes unitárias
e
é unitária.
Para
ser unitária, deve-se ter:
Calculando o lado esquerdo:
Como
e
são unitárias,
e
. Assim:
Para que isso seja igual a
, precisaríamos ter
, o que geralmente não é o caso. Portanto, a soma de duas matrizes unitárias não é necessariamente unitária.
Passo 6
4. A soma de duas matrizes hermitianas é hermitiana?
Vamos verificar se a soma de duas matrizes hermitianas
e
é hermitiana.
Calculando a adjunta de
:
Como
e
são hermitianas,
e
. Então:
Portanto, a soma de duas matrizes hermitianas é hermitiana.
Resposta
- Produto de matrizes unitárias: O produto de duas matrizes unitárias é unitário.
- Produto de matrizes hermitianas: O produto de duas matrizes hermitianas é hermitiano se elas comutam, ou seja,
. - Soma de matrizes unitárias: A soma de duas matrizes unitárias não é necessariamente unitária.
- Soma de matrizes hermitianas: A soma de duas matrizes hermitianas é sempre hermitiana.