Um cowboy está em pé em um terreno horizontal entre penhascos paralelos e verticais, mas não a meio caminho entre os penhascos. Ele dispara um tiro e ouve seus ecos. O segundo eco chega após o primeiro, e antes do terceiro. Considere que apenas o som se propaga paralelo ao chão e reflete entre os paredões. (b) Se ele ouvir o quarto eco, quanto tempo após o terceiro ele chega?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um cowboy que está em pé em um terreno horizontal entre dois penhascos verticais e paralelos, mas não está exatamente no meio entre eles. Ele dispara um tiro e ouve os ecos desse tiro refletindo entre os penhascos. Sabemos que:
  • O segundo eco chega 1,92 segundos depois do primeiro.
  • Esse segundo eco chega 1,47 segundos antes do terceiro.
Queremos descobrir, na parte (b), quanto tempo depois do terceiro eco chega o quarto eco.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como o som se propaga e reflete entre as superfícies. Vamos usar conceitos de física relacionados à velocidade do som e ao tempo que leva para o som percorrer determinados trajetos.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o som viaja a uma velocidade constante no ar, que é aproximadamente . Quando o cowboy dispara o tiro, o som vai se propagar para os penhascos, refletir e voltar para ele, formando ecos.
Como os penhascos são paralelos e o cowboy não está exatamente no meio, cada eco corresponde a um trajeto diferente do som entre os penhascos e de volta.

Passo 3

Vamos pensar nos ecos como múltiplas reflexões. O primeiro eco é quando o som vai até o penhasco mais próximo e volta. O segundo eco é quando o som vai até o penhasco mais distante e volta. O terceiro eco é quando o som reflete de novo no penhasco mais próximo e assim por diante.
Cada vez que o som percorre o trajeto completo entre os penhascos, ele adiciona um intervalo de tempo igual.

Passo 4

Vamos chamar esse intervalo de tempo entre os ecos consecutivos de .
Sabemos que:
  • O segundo eco chega 1,92 s depois do primeiro.
  • O terceiro eco chega 1,47 s depois do segundo.
Isso nos dá duas equações:
Mas isso aparentemente é um problema, pois não pode ser dois valores diferentes. Isso sugere que a diferença de tempo entre os ecos não é constante, o que acontece porque o cowboy não está exatamente no meio.

Passo 5

Na verdade, a diferença de tempo entre os ecos alterna entre dois valores dependendo de qual penhasco o som está refletindo.
Vamos chamar:
  • (diferença entre o primeiro e o segundo eco)
  • (diferença entre o segundo e o terceiro eco)
Perceba que o padrão desses tempos se repete:

Passo 6

Seguindo esse padrão, o quarto eco virá depois do terceiro eco com um intervalo de .
Então, a diferença de tempo entre o terceiro e o quarto eco será o mesmo que a diferença entre o primeiro e o segundo eco.

Resposta

O quarto eco chega 1,92 segundos depois do terceiro eco.

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