Estou girando um balde com água em torno do seu eixo vertical com velocidade angular
. Mostre que, tão logo a água tenha alcançado o equilíbrio (relativo ao balde), a sua superfície será uma parábola. (Use coordenadas cilíndricas polares e lembre-se que a superfície é equipotencial sob os efeitos combinados da força gravitacional e centrífuga.)
Passo 1
Então, a gente tem um balde cheio de água que está girando em torno do seu eixo vertical com uma velocidade angular
. A missão aqui é mostrar que, quando a água atinge o equilíbrio relativo ao balde, a superfície da água forma uma parábola. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas polares e entender como as forças gravitacional e centrífuga influenciam a forma da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, no equilíbrio, a superfície da água é uma superfície equipotencial. Isso significa que o potencial resultante das forças que atuam sobre a água é constante ao longo da superfície. As duas forças que vamos considerar são a força da gravidade e a força centrífuga devido à rotação do balde.
Passo 3
Vamos expressar o potencial gravitacional. A força da gravidade
age na direção vertical
e é proporcional a
. O potencial gravitacional
é dado por:
onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 4
Agora, vamos considerar a força centrífuga
. Em coordenadas cilíndricas, essa força atua radialmente e é proporcional ao raio
e ao quadrado da velocidade angular
. O potencial centrífugo
é dado por:
Passo 5
Como a superfície da água é equipotencial, a soma dos potenciais gravitacional e centrífugo deve ser constante na superfície. Assim, temos:
Substituindo os potenciais:
Passo 6
Vamos isolar
para encontrar a relação entre
e
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
A constante pode ser interpretada como o nível da água no centro do balde (
). Vamos chamar esse nível de
. Então, temos:
Para simplificar, podemos reescrever:
Como o
é uma constante, podemos ajustar a referência para que
, obtendo:
Resposta
A equação que descreve a superfície da água é uma parábola dada por: