Estou girando um balde com água em torno do seu eixo vertical com velocidade angular . Mostre que, tão logo a água tenha alcançado o equilíbrio (relativo ao balde), a sua superfície será uma parábola. (Use coordenadas cilíndricas polares e lembre-se que a superfície é equipotencial sob os efeitos combinados da força gravitacional e centrífuga.)

Passo 1

Então, a gente tem um balde cheio de água que está girando em torno do seu eixo vertical com uma velocidade angular . A missão aqui é mostrar que, quando a água atinge o equilíbrio relativo ao balde, a superfície da água forma uma parábola. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas polares e entender como as forças gravitacional e centrífuga influenciam a forma da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, no equilíbrio, a superfície da água é uma superfície equipotencial. Isso significa que o potencial resultante das forças que atuam sobre a água é constante ao longo da superfície. As duas forças que vamos considerar são a força da gravidade e a força centrífuga devido à rotação do balde.

Passo 3

Vamos expressar o potencial gravitacional. A força da gravidade age na direção vertical e é proporcional a . O potencial gravitacional é dado por:
onde é a aceleração da gravidade.

Passo 4

Agora, vamos considerar a força centrífuga . Em coordenadas cilíndricas, essa força atua radialmente e é proporcional ao raio e ao quadrado da velocidade angular . O potencial centrífugo é dado por:

Passo 5

Como a superfície da água é equipotencial, a soma dos potenciais gravitacional e centrífugo deve ser constante na superfície. Assim, temos:
Substituindo os potenciais:

Passo 6

Vamos isolar para encontrar a relação entre e :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

A constante pode ser interpretada como o nível da água no centro do balde ( ). Vamos chamar esse nível de . Então, temos:
Para simplificar, podemos reescrever:
Como o é uma constante, podemos ajustar a referência para que , obtendo:

Resposta

A equação que descreve a superfície da água é uma parábola dada por:

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