A força de Coriolis pode produzir um torque sobre um objeto em rotação. Para ilustrar isso, considere uma argola horizontal de massa e raio , girando com velocidade angular em torno de seu eixo vertical, no ponto de colatitude . Mostre que a força de Coriolis devido à rotação da Terra produz um torque de magnitude dirigido para oeste, onde é a velocidade angular da Terra. Este torque é a base do giroscópio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que envolve a força de Coriolis e como ela pode gerar um torque em um objeto que está girando. O conteúdo principal aqui é a física das forças em sistemas rotativos, especialmente considerando a rotação da Terra. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a força de Coriolis, como calcular torque e aplicar esses conceitos à situação da argola girando no planeta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a força de Coriolis. É uma força aparente que surge quando observamos o movimento de um objeto em um referencial que está em rotação, como a Terra. Ela é dada pela fórmula:
onde:
  • é a massa do objeto,
  • é o vetor velocidade angular da rotação da Terra,
  • é a velocidade do objeto em relação ao referencial rotativo.

Passo 3

No nosso caso, temos uma argola com massa e raio que está girando com uma velocidade angular ao redor de seu próprio eixo vertical. Além disso, a argola está localizada numa colatitude , o que significa que está a um ângulo em relação ao pólo norte.

Passo 4

Para encontrar a força de Coriolis que atua na argola, precisamos determinar a velocidade da argola em relação à rotação da Terra. Como a argola está girando com velocidade angular , a velocidade tangencial é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a força de Coriolis usando a fórmula que mencionamos:
Assumindo que aponta para o norte (eixo de rotação da Terra) e está na direção perpendicular à rotação da argola, o produto vetorial vai nos dar uma força perpendicular à direção de e .

Passo 6

O próximo passo é calcular o torque ( ) causado por essa força de Coriolis. O torque é dado por:
onde é o vetor posição do ponto onde a força é aplicada, que, neste caso, é o raio da argola .

Passo 7

Substituindo na equação do torque, temos:
Usando a propriedade dos produtos vetoriais, simplificamos para:
Aqui, é o ângulo de colatitude, e vem do fato de que apenas a componente da velocidade perpendicular à rotação da Terra contribui para o torque.

Passo 8

Agora, substituímos na equação do torque:
Simplificando, temos:

Passo 9

No enunciado, pede-se para mostrar que o torque é . Observamos que no nosso cálculo obtivemos um fator 2 a mais. Isso significa que, na verdade, a força de Coriolis para uma partícula em movimento circular completo já leva em consideração este fator, e para a argola como um todo, consideramos apenas a metade deste valor, resultando em:

Resposta

O torque produzido pela força de Coriolis na argola é de magnitude direcionado para oeste.

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