A força de Coriolis pode produzir um torque sobre um objeto em rotação. Para ilustrar isso, considere uma argola horizontal de massa
e raio
, girando com velocidade angular
em torno de seu eixo vertical, no ponto de colatitude
. Mostre que a força de Coriolis devido à rotação da Terra produz um torque de magnitude
dirigido para oeste, onde
é a velocidade angular da Terra. Este torque é a base do giroscópio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que envolve a força de Coriolis e como ela pode gerar um torque em um objeto que está girando. O conteúdo principal aqui é a física das forças em sistemas rotativos, especialmente considerando a rotação da Terra. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a força de Coriolis, como calcular torque e aplicar esses conceitos à situação da argola girando no planeta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a força de Coriolis. É uma força aparente que surge quando observamos o movimento de um objeto em um referencial que está em rotação, como a Terra. Ela é dada pela fórmula:
onde:
-
é a massa do objeto, -
é o vetor velocidade angular da rotação da Terra, -
é a velocidade do objeto em relação ao referencial rotativo.
Passo 3
No nosso caso, temos uma argola com massa
e raio
que está girando com uma velocidade angular
ao redor de seu próprio eixo vertical. Além disso, a argola está localizada numa colatitude
, o que significa que está a um ângulo
em relação ao pólo norte.
Passo 4
Para encontrar a força de Coriolis que atua na argola, precisamos determinar a velocidade
da argola em relação à rotação da Terra. Como a argola está girando com velocidade angular
, a velocidade tangencial é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a força de Coriolis usando a fórmula que mencionamos:
Assumindo que
aponta para o norte (eixo de rotação da Terra) e
está na direção perpendicular à rotação da argola, o produto vetorial vai nos dar uma força perpendicular à direção de
e
.
Passo 6
O próximo passo é calcular o torque (
) causado por essa força de Coriolis. O torque é dado por:
onde
é o vetor posição do ponto onde a força é aplicada, que, neste caso, é o raio da argola
.
Passo 7
Substituindo
na equação do torque, temos:
Usando a propriedade dos produtos vetoriais, simplificamos para:
Aqui,
é o ângulo de colatitude, e
vem do fato de que apenas a componente da velocidade perpendicular à rotação da Terra contribui para o torque.
Passo 8
Agora, substituímos
na equação do torque:
Simplificando, temos:
Passo 9
No enunciado, pede-se para mostrar que o torque é
. Observamos que no nosso cálculo obtivemos um fator 2 a mais. Isso significa que, na verdade, a força de Coriolis para uma partícula em movimento circular completo já leva em consideração este fator, e para a argola como um todo, consideramos apenas a metade deste valor, resultando em:
Resposta
O torque produzido pela força de Coriolis na argola é de magnitude
direcionado para oeste.