Mostre que o ângulo entre uma linha de prumo e a direção do centro da Terra tem uma boa aproximação dada por sen , onde é a aceleração de queda livre observada e assumimos que a Terra tem uma simétrica perfeitamente esférica. Estime os valores máximos e mínimos da magnitude de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que o ângulo entre uma linha de prumo (a direção que aponta diretamente para o centro da Terra) e a direção do centro da Terra pode ser aproximado pela fórmula:
Aqui, é o raio da Terra, é a velocidade angular da Terra, é a latitude, e é a aceleração da gravidade observada. Além disso, assumimos que a Terra é perfeitamente esférica. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de forças atuantes na superfície da Terra, como a força da gravidade e a força centrífuga devido à rotação da Terra.

Passo 2

Vamos começar analisando as forças que atuam em um objeto na superfície da Terra. Existem principalmente duas forças:
  1. Força da Gravidade ( ): Esta é a força que a Terra exerce sobre o objeto, puxando-o para o centro da Terra. Ela é dada por:
onde é a massa do objeto e é a aceleração devida à gravidade.
  1. Força Centrípeta ( ): Devido à rotação da Terra, há uma for��a que atua para fora, chamada força centrífuga. Ela é responsável por reduzir a sensação de peso e é dada por:
onde é a velocidade angular da Terra e é a latitude.

Passo 3

A linha de prumo é determinada pela resultante dessas duas forças. Para encontrar o ângulo entre a linha de prumo e a direção do centro da Terra, precisamos considerar a relação entre essas forças.
Podemos visualizar isso como um triângulo onde a força da gravidade é um dos lados, a força centrífuga é o outro, e a resultante é a direção do prumo. O ângulo é então o ângulo formado entre e a resultante.

Passo 4

Para encontrar , usamos a relação trigonométrica na qual o seno do ângulo é igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa. Neste caso:
Substituindo as expressões das forças:

Passo 5

No enunciado, a fórmula fornecida é:
Para igualar as duas expressões, podemos utilizar a identidade trigonométrica , então:
Comparando com nossa expressão anterior, percebemos que a fórmula fornecida considera a componente adicional , que leva em conta a inclinação da força centrífuga em diferentes latitudes.

Passo 6

Agora, para estimar os valores máximos e mínimos de , observamos que o seno atinge seus valores máximos e mínimos nas latitudes onde é máximo e mínimo.
A função tem um valor máximo de 1 quando , ou seja, , e um valor mínimo de -1 quando , ou seja, . Mas como varia de a (latitudes norte e sul), o valor mínimo de é 0 (nos polos, e ).
Portanto:
  • Valor Máximo de : Quando ,
á
  • Valor Mínimo de : Quando ou ,
í

Resposta

Os valores máximos e mínimos da magnitude do ângulo são, respectivamente:
  • Máximo: á
  • Mínimo: í

Exercícios de Livros Relacionados