Mostre que o ângulo
entre uma linha de prumo e a direção do centro da Terra tem uma boa aproximação dada por sen
, onde
é a aceleração de queda livre observada e assumimos que a Terra tem uma simétrica perfeitamente esférica. Estime os valores máximos e mínimos da magnitude de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que o ângulo
entre uma linha de prumo (a direção que aponta diretamente para o centro da Terra) e a direção do centro da Terra pode ser aproximado pela fórmula:
Aqui,
é o raio da Terra,
é a velocidade angular da Terra,
é a latitude, e
é a aceleração da gravidade observada. Além disso, assumimos que a Terra é perfeitamente esférica. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de forças atuantes na superfície da Terra, como a força da gravidade e a força centrífuga devido à rotação da Terra.
Passo 2
Vamos começar analisando as forças que atuam em um objeto na superfície da Terra. Existem principalmente duas forças:
- Força da Gravidade (
): Esta é a força que a Terra exerce sobre o objeto, puxando-o para o centro da Terra. Ela é dada por:
onde
é a massa do objeto e
é a aceleração devida à gravidade.
- Força Centrípeta (
): Devido à rotação da Terra, há uma for��a que atua para fora, chamada força centrífuga. Ela é responsável por reduzir a sensação de peso e é dada por:
onde
é a velocidade angular da Terra e
é a latitude.
Passo 3
A linha de prumo é determinada pela resultante dessas duas forças. Para encontrar o ângulo
entre a linha de prumo e a direção do centro da Terra, precisamos considerar a relação entre essas forças.
Podemos visualizar isso como um triângulo onde a força da gravidade é um dos lados, a força centrífuga é o outro, e a resultante é a direção do prumo. O ângulo
é então o ângulo formado entre
e a resultante.
Passo 4
Para encontrar
, usamos a relação trigonométrica na qual o seno do ângulo é igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa. Neste caso:
Substituindo as expressões das forças:
Passo 5
No enunciado, a fórmula fornecida é:
Para igualar as duas expressões, podemos utilizar a identidade trigonométrica
, então:
Comparando com nossa expressão anterior, percebemos que a fórmula fornecida considera a componente adicional
, que leva em conta a inclinação da força centrífuga em diferentes latitudes.
Passo 6
Agora, para estimar os valores máximos e mínimos de
, observamos que o seno atinge seus valores máximos e mínimos nas latitudes onde
é máximo e mínimo.
A função
tem um valor máximo de 1 quando
, ou seja,
, e um valor mínimo de -1 quando
, ou seja,
. Mas como
varia de
a
(latitudes norte e sul), o valor mínimo de
é 0 (nos polos,
e
).
Portanto:
- Valor Máximo de
: Quando ,
- Valor Mínimo de
: Quando ou ,
Resposta
Os valores máximos e mínimos da magnitude do ângulo
são, respectivamente:
- Máximo:
- Mínimo: