Uma partícula de massa está confinada a mover-se, sem atrito, em um plano vertical, com eixo horizontal e verticalmente para cima. O plano é forçado a girar com velocidade angular constante em torno do eixo . Determine as equações de movimento para , resolva-as e descreva os possíveis movimentos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula com massa que pode se mover sem atrito em um plano vertical. Esse plano está girando com velocidade angular constante em torno do eixo (que é vertical para cima). Nosso objetivo aqui é encontrar as equações de movimento nas direções e , resolver essas equações e entender como a partícula vai se comportar nesse cenário. Para isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica em sistemas rotativos, como as forças fictícias que aparecem quando analisamos o movimento em um referencial que está girando.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher nosso referencial. Como o plano está girando com velocidade angular , é conveniente analisar o movimento da partícula nesse referencial rotativo. Nesse sistema, além das forças reais (como a gravidade), surgem forças fictícias que precisamos considerar: a força centrífuga e a força de Coriolis.
A força centrífuga é dada por:
í
onde é a posição da partícula no plano perpendicular ao eixo de rotação (no caso, na direção ).
A força de Coriolis é:
onde é a velocidade da partícula no referencial rotativo.

Passo 3

Vamos escrever as equações de movimento nas direções e . No eixo , temos apenas a força da gravidade e a componente da força centrífuga que afeta nessa direção, se houver. Porém, como a rotação é em torno do eixo , a força centrífuga atua na direção . Portanto, nas direções:
Para :
Para :

Passo 4

Vamos simplificar as equações. Dividindo ambas as equações por :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos resolver cada equação separadamente.
Para :
A equação é:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com solução geral:
onde e são constantes que dependem das condições iniciais.
Para :
A equação é:
Integrando uma vez:
Integrando novamente:
onde e são constantes de integração determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Vamos interpretar as soluções:
  • Em : As soluções exponenciais indicam que, a menos que as constantes e sejam ajustadas para cancelar o crescimento exponencial, a partícula tende a se afastar ou se aproximar rapidamente do ponto de equilíbrio, dependendo dos valores dessas constantes.
  • Em : Essa é a equação do movimento de um corpo sob a aceleração da gravidade, mostrando que a posição em varia quadráticamente com o tempo, caracterizando uma queda acelerada.

Resposta

As equações de movimento para a partícula são:
As soluções dessas equações são:
Onde , , e são constantes determinadas pelas condições iniciais. Isso significa que, na direção , a partícula pode se afastar ou se aproximar exponencialmente, enquanto na direção , ela sofrerá uma queda acelerada devido à gravidade.

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