Neste problema, você irá demonstrar a equação de movimento (9.34) para um referencial em rotação usando o formalismo Lagrangiano. Como sempre, o método Lagrangiano é, em muitos aspectos, mais fácil do que o Newtoniano (exceto pelo fato de que ele apela para alguma ginástica vetorial levemente ardilosa), mas é talvez pouco iluminador. Seja
um referencial não inercial girando com velocidade angular constante
relativa ao referencial inercial
. Considere ambos os referenciais tendo a mesma origem,
. (a) Determine a Lagrangiana
em termos das coordenadas
de
. [Lembre-se de que você deve primeiramente determinar
no referencial inercial. Neste contexto, lembre que
.]
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para demonstrar a equação de movimento para um referencial que está girando usando o formalismo Lagrangiano. A matéria aqui envolve Mecânica Lagrangiana aplicada a referenciais não inerciais (ou seja, que estão acelerando ou girando). Vamos precisar entender como expressar a Lagrangiana
no referencial giratório
, usando as coordenadas
e
desse referencial. Para isso, vamos usar a relação entre as velocidades nos referenciais inercial e não inercial:
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Lagrangiana
. Ela é dada por
, onde:
-
é a energia cinética do sistema. -
é a energia potencial do sistema.
Como estamos trabalhando no referencial inercial
, precisamos expressar a energia cinética
nesse referencial antes de adaptá-la para o referencial giro
.
Passo 3
No referencial inercial
, a velocidade de um ponto
é dada por:
Aqui:
-
é a velocidade no referencial giratório . -
é a velocidade angular constante do referencial em relação a . -
é a posição do ponto em relação à origem comum .
A energia cinética no referencial inercial é:
Vamos expandir esse quadrado para facilitar a expressão da Lagrangiana.
Passo 4
Ao expandirmos
, obtemos:
Então, a energia cinética fica:
Agora, precisamos considerar a energia potencial
. Se assume que
depende apenas da posição
, então ela permanece
.
Passo 5
A Lagrangiana
no referencial giratório
é, portanto:
Essa expressão leva em conta os efeitos da rotação do referencial
sobre a dinâmica do sistema.
Resposta
A Lagrangiana no referencial giratório
é: