Neste problema, você irá demonstrar a equação de movimento (9.34) para um referencial em rotação usando o formalismo Lagrangiano. Como sempre, o método Lagrangiano é, em muitos aspectos, mais fácil do que o Newtoniano (exceto pelo fato de que ele apela para alguma ginástica vetorial levemente ardilosa), mas é talvez pouco iluminador. Seja um referencial não inercial girando com velocidade angular constante relativa ao referencial inercial . Considere ambos os referenciais tendo a mesma origem, . (a) Determine a Lagrangiana em termos das coordenadas de . [Lembre-se de que você deve primeiramente determinar no referencial inercial. Neste contexto, lembre que .]

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para demonstrar a equação de movimento para um referencial que está girando usando o formalismo Lagrangiano. A matéria aqui envolve Mecânica Lagrangiana aplicada a referenciais não inerciais (ou seja, que estão acelerando ou girando). Vamos precisar entender como expressar a Lagrangiana no referencial giratório , usando as coordenadas e desse referencial. Para isso, vamos usar a relação entre as velocidades nos referenciais inercial e não inercial: .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Lagrangiana . Ela é dada por , onde:
  • é a energia cinética do sistema.
  • é a energia potencial do sistema.
Como estamos trabalhando no referencial inercial , precisamos expressar a energia cinética nesse referencial antes de adaptá-la para o referencial giro .

Passo 3

No referencial inercial , a velocidade de um ponto é dada por:
Aqui:
  • é a velocidade no referencial giratório .
  • é a velocidade angular constante do referencial em relação a .
  • é a posição do ponto em relação à origem comum .
A energia cinética no referencial inercial é:
Vamos expandir esse quadrado para facilitar a expressão da Lagrangiana.

Passo 4

Ao expandirmos , obtemos:
Então, a energia cinética fica:
Agora, precisamos considerar a energia potencial . Se assume que depende apenas da posição , então ela permanece .

Passo 5

A Lagrangiana no referencial giratório é, portanto:
Essa expressão leva em conta os efeitos da rotação do referencial sobre a dinâmica do sistema.

Resposta

A Lagrangiana no referencial giratório é:

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