Mostre que, se fizermos uma mudança de variáveis
e
, então, como em (16.7),
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que, ao fazer uma mudança de variáveis onde
e
, a equação dada se transforma em outra forma específica. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais parciais e mudanças de coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para calcular derivadas parciais após a mudança de variável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as novas variáveis que estamos usando:
Isso significa que agora estamos expressando a função
em termos de
e
ao invés de
e
.
Passo 3
Agora, precisamos expressar as derivadas parciais de
em relação a
e
usando as novas variáveis. Para isso, usamos a regra da cadeia.
Vamos calcular
e
.
Primeiro, para
:
Calculando as derivadas de
e
em relação a
:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
da mesma forma:
Calculando as derivadas de
e
em relação a
:
Então:
Passo 5
Agora precisamos das segundas derivadas:
e
.
Primeiro, para
:
Agora, para
:
Passo 6
Agora, vamos substituir essas segundas derivadas na equação original:
Substituindo:
Simplificando:
Os termos
e
se cancelam:
Resposta
Portanto, mostramos que após a mudança de variáveis
e
, a equação original se transforma em: