Mostre que, se fizermos uma mudança de variáveis e , então, como em (16.7),

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que, ao fazer uma mudança de variáveis onde e , a equação dada se transforma em outra forma específica. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais parciais e mudanças de coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para calcular derivadas parciais após a mudança de variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as novas variáveis que estamos usando:
Isso significa que agora estamos expressando a função em termos de e ao invés de e .

Passo 3

Agora, precisamos expressar as derivadas parciais de em relação a e usando as novas variáveis. Para isso, usamos a regra da cadeia.
Vamos calcular e .
Primeiro, para :
Calculando as derivadas de e em relação a :
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular da mesma forma:
Calculando as derivadas de e em relação a :
Então:

Passo 5

Agora precisamos das segundas derivadas: e .
Primeiro, para :
Agora, para :

Passo 6

Agora, vamos substituir essas segundas derivadas na equação original:
Substituindo:
Simplificando:
Os termos e se cancelam:

Resposta

Portanto, mostramos que após a mudança de variáveis e , a equação original se transforma em:

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