Se
denota o símbolo do delta de Kronecker (16.115) e a é um vetor com componentes
, mostre que
. Da mesma forma, mostre que
, um resultado que usamos na demonstração da importante identidade (16.116).
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o símbolo delta de Kronecker, denotado por
, e um vetor
com componentes
onde
. A tarefa é mostrar que:
E de forma semelhante,
Para resolver isso, precisamos entender como funciona o delta de Kronecker e como ele interage com somas envolvendo vetores e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o delta de Kronecker. O delta de Kronecker,
, é uma função que vale 1 quando os índices
e
são iguais e 0 caso contrário. Em outras palavras:
Isso significa que, em uma soma onde multiplicamos
por algum termo que depende de
, apenas o termo onde
vai contribuir para a soma.
Passo 3
Vamos aplicar essa propriedade na soma
. Vamos expandir a soma para os valores de
:
De acordo com a definição do delta de Kronecker, apenas o termo onde
será igual a 1, e os demais serão 0. Portanto, a soma simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o mesmo raciocínio na soma que envolve as derivadas parciais:
. Da mesma forma que antes, expandimos a soma:
Novamente, apenas o termo onde
será igual a 1, simplificando a soma para:
Resposta
Portanto, mostramos que:
e