Se denota o símbolo do delta de Kronecker (16.115) e a é um vetor com componentes , mostre que . Da mesma forma, mostre que , um resultado que usamos na demonstração da importante identidade (16.116).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o símbolo delta de Kronecker, denotado por , e um vetor com componentes onde . A tarefa é mostrar que:
E de forma semelhante,
Para resolver isso, precisamos entender como funciona o delta de Kronecker e como ele interage com somas envolvendo vetores e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o delta de Kronecker. O delta de Kronecker, , é uma função que vale 1 quando os índices e são iguais e 0 caso contrário. Em outras palavras:
Isso significa que, em uma soma onde multiplicamos por algum termo que depende de , apenas o termo onde vai contribuir para a soma.

Passo 3

Vamos aplicar essa propriedade na soma . Vamos expandir a soma para os valores de :
De acordo com a definição do delta de Kronecker, apenas o termo onde será igual a 1, e os demais serão 0. Portanto, a soma simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o mesmo raciocínio na soma que envolve as derivadas parciais: . Da mesma forma que antes, expandimos a soma:
Novamente, apenas o termo onde será igual a 1, simplificando a soma para:

Resposta

Portanto, mostramos que:
e

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