Obtenha a equação de onda (16.124) quando aplicada a um fluido estático. Assumindo que é uniforme e é constante (independente de ), mostre o resultado bastante conhecido desde a física introdutória, de que a diferença de pressão entre dois pontos e é , onde é a diferença vertical nas elevações de e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa obter a equação de onda numa situação de fluido estático. Isso envolve física de fluidos e, mais especificamente, a relação entre pressão e altura em um fluido parado. Para resolver isso, vamos precisar entender como a pressão varia com a profundidade em um fluido e aplicar essa ideia para mostrar que a diferença de pressão entre dois pontos é dada por .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um fluido estático, a pressão varia apenas com a profundidade devido à força da gravidade. Isso significa que a pressão em um ponto depende da altura do fluido acima desse ponto. A equação básica que descreve essa relação é:
Aqui, é a pressão, é a altura vertical, é a densidade do fluido, e é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Agora, vamos integrar essa equação para encontrar a relação entre pressão e altura. A integração nos dará a diferença de pressão entre dois pontos em alturas diferentes no fluido. Integrando de a , temos:
Isso simplifica para:

Passo 4

Podemos reescrever a equação para encontrar a diferença de pressão entre os dois pontos:
Se considerarmos como a diferença vertical nas elevações de e , onde , a equação fica:

Resposta

Assim, mostramos que a diferença de pressão entre dois pontos em um fluido estático é , where é a diferença de altura entre os dois pontos.

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