Obtenha a equação de onda (16.124) quando aplicada a um fluido estático. Assumindo que
é uniforme e
é constante (independente de
), mostre o resultado bastante conhecido desde a física introdutória, de que a diferença de pressão entre dois pontos
e
é
, onde
é a diferença vertical nas elevações de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa obter a equação de onda numa situação de fluido estático. Isso envolve física de fluidos e, mais especificamente, a relação entre pressão e altura em um fluido parado. Para resolver isso, vamos precisar entender como a pressão varia com a profundidade em um fluido e aplicar essa ideia para mostrar que a diferença de pressão entre dois pontos é dada por
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um fluido estático, a pressão varia apenas com a profundidade devido à força da gravidade. Isso significa que a pressão em um ponto depende da altura do fluido acima desse ponto. A equação básica que descreve essa relação é:
Aqui,
é a pressão,
é a altura vertical,
é a densidade do fluido, e
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Agora, vamos integrar essa equação para encontrar a relação entre pressão e altura. A integração nos dará a diferença de pressão entre dois pontos em alturas diferentes no fluido. Integrando de
a
, temos:
Isso simplifica para:
Passo 4
Podemos reescrever a equação para encontrar a diferença de pressão
entre os dois pontos:
Se considerarmos
como a diferença vertical nas elevações de
e
, onde
, a equação fica:
Resposta
Assim, mostramos que a diferença de pressão entre dois pontos em um fluido estático é
, where
é a diferença de altura entre os dois pontos.