Em um certo ponto
(que você pode escolher como sendo a origem) em um sólido contínuo, o tensor de deformação é E. Assuma por simplicidade que qualquer que seja o deslocamento, este tenha deixado
fixo e a sua vizinhança não rotacionada. (b) Em seguida, mostre que qualquer pequeno volume em torno de
variou por
. Isso mostra que quaisquer duas deformações que tenham o mesmo traço dilatam volumes com a mesma quantidade. Na decomposição
(16.88), a parte esférica
modifica o volume pela mesma quantidade que modifica o próprio
, enquanto a parte deviatórica
não muda o volume de forma alguma.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ponto
num sólido contínuo, que vamos considerar como a origem. O tensor de deformação nesse ponto é
. A ideia é mostrar que qualquer volume pequeno ao redor de
muda de tamanho de acordo com
, onde “tr” representa o traço do tensor
. Para isso, vamos precisar entender o que é o tensor de deformação, como calcular seu traço e como isso afeta o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o tensor de deformação
descreve como um sólido se deforma sob uma força. Ele é uma matriz que contém informações sobre alongamentos e compressões nas diferentes direções. O traço de um tensor,
, é a soma dos elementos diagonais dessa matriz, ou seja, as deformações lineares nas direções
,
e
.
Passo 3
Agora, para relacionar o traço de
com a variação do volume
, vamos considerar que a deformação total de um volume é composta por duas partes: uma que muda o volume (deformação volumétrica) e outra que não muda (deformação de forma).
Passo 4
A deformação volumétrica está relacionada ao traço do tensor de deformação. Quando somamos as deformações lineares nas três direções (que é o traço), estamos essencialmente calculando quanto o volume está aumentando ou diminuindo. Isso ocorre porque as alterações em cada direção impactam diretamente o tamanho geral do volume.
Passo 5
Portanto, se o traço
for positivo, isso indica que o volume está se expandindo, e se for negativo, que está se contraindo. Assim, a variação relativa do volume
é exatamente igual ao traço do tensor de deformação
.
Resposta
A variação relativa do volume é dada por
.