Em um certo ponto (que você pode escolher como sendo a origem) em um sólido contínuo, o tensor de deformação é E. Assuma por simplicidade que qualquer que seja o deslocamento, este tenha deixado fixo e a sua vizinhança não rotacionada. (b) Em seguida, mostre que qualquer pequeno volume em torno de variou por . Isso mostra que quaisquer duas deformações que tenham o mesmo traço dilatam volumes com a mesma quantidade. Na decomposição (16.88), a parte esférica modifica o volume pela mesma quantidade que modifica o próprio , enquanto a parte deviatórica não muda o volume de forma alguma.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ponto num sólido contínuo, que vamos considerar como a origem. O tensor de deformação nesse ponto é . A ideia é mostrar que qualquer volume pequeno ao redor de muda de tamanho de acordo com , onde “tr” representa o traço do tensor . Para isso, vamos precisar entender o que é o tensor de deformação, como calcular seu traço e como isso afeta o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o tensor de deformação descreve como um sólido se deforma sob uma força. Ele é uma matriz que contém informações sobre alongamentos e compressões nas diferentes direções. O traço de um tensor, , é a soma dos elementos diagonais dessa matriz, ou seja, as deformações lineares nas direções , e .

Passo 3

Agora, para relacionar o traço de com a variação do volume , vamos considerar que a deformação total de um volume é composta por duas partes: uma que muda o volume (deformação volumétrica) e outra que não muda (deformação de forma).

Passo 4

A deformação volumétrica está relacionada ao traço do tensor de deformação. Quando somamos as deformações lineares nas três direções (que é o traço), estamos essencialmente calculando quanto o volume está aumentando ou diminuindo. Isso ocorre porque as alterações em cada direção impactam diretamente o tamanho geral do volume.

Passo 5

Portanto, se o traço for positivo, isso indica que o volume está se expandindo, e se for negativo, que está se contraindo. Assim, a variação relativa do volume é exatamente igual ao traço do tensor de deformação .

Resposta

A variação relativa do volume é dada por .

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