Considere um disco, sem atrito, sobre uma mesa horizontal que está girando no sentido anti-horário com velocidade angular
. (a) Obtenha a segunda lei de Newton para as coordenadas
e
do disco visto por mim em pé sobre a mesa giratória. (Certifique-se de incluir as forças centrífuga e de Coriolis, mas ignore a rotação da Terra.) (b) Resolva as duas equações usando o truque de escrever
e sugerindo uma solução da forma
. [Neste caso - como no caso do movimento harmônico simples criticamente amortecido, discutido na Seção 5.4 - você obtém apenas uma solução por este caminho. A outra solução tem a mesma forma de (5.43) que determinamos para a segunda solução do movimento harmônico simples.] Obtenha a solução geral. © No instante
, impulsiono o disco da posição
, 0 ) com velocidade
(todas medidas por mim sobre a mesa giratória). Mostre que
(d) Descreva e esboce o comportamento do disco para grandes valores de
. [Sugestão: quando
é grande, os termos proporcionais a ele dominam (exceto no caso em que ambos os seus coeficientes são zero). Com
grande, escreva (9.72) na forma
, com uma expressão similar para
, e use o truque (5.11) para combinar o seno e cosseno em um único cosseno - ou seno, no caso de
. Então, agora você pode lembrar que a trajetória é o mesmo tipo de espiral, qualquer que seja a condição inicial (com a exceção mencionada).]
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um disco sem atrito que está girando numa mesa horizontal com uma certa velocidade angular
. A gente vai precisar aplicar a segunda lei de Newton usando coordenadas
e
no referencial que está girando com a mesa. Para isso, vamos considerar forças fictícias como a centrífuga e a de Coriolis. Vamos resolver passo a passo para entender bem cada parte.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele vezes a aceleração:
. Mas como estamos no referencial que está girando, precisamos incluir as forças fictícias que aparecem nesse sistema.
Passo 3
Em um referencial giratório com velocidade angular
, além das forças reais, surgem duas forças fictícias importantes:
- Força Centrífuga: Age para fora, proporcional à distância do centro de rotação. Ela é dada por
. - Força de Coriolis: Atua perpendicularmente à velocidade do objeto em relação ao referencial girante. Ela é dada por
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton considerando essas forças fictícias. Se denotarmos as coordenadas do disco por
e
, temos para cada direção:
Para o eixo
:
Para o eixo
:
Aqui,
e
são as acelerações nas direções
e
, respectivamente.
Passo 5
Agora, vamos seguir para a parte (b) do exercício, onde precisamos resolver essas equações usando uma substituição complexa. A ideia é combinar
e
em um número complexo
e sugerir uma solução da forma
.
Substituindo
na equação de movimento, vamos encontrar os valores possíveis de
que satisfazem as equações diferenciais.
Passo 6
Após realizar as substituições e resolver para
, encontramos que a solução geral para
pode ser escrita como:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 7
Separando as partes reais e imaginárias, obtemos as expressões para
e
:
Essas são as soluções para as posições
e
do disco ao longo do tempo.
Passo 8
Para a parte (d), queremos descrever o comportamento do disco para grandes valores de
. Observando as soluções obtidas, percebemos que os termos que crescem linearmente com
vão dominar o comportamento do sistema quando
é grande.
Podemos reescrever as expressões de
e
da seguinte forma:
Usando o truque de combinar seno e cosseno em um único cosseno (ou seno), podemos simplificar as expressões e notar que a trajetória do disco tende a formar uma espiral conforme
aumenta.
Resposta
Resumindo, as soluções para a posição do disco são:
Para grandes valores de
, o disco descreve uma trajetória em espiral devido aos termos lineares multiplicados por funções trigonométricas.