Considere um disco, sem atrito, sobre uma mesa horizontal que está girando no sentido anti-horário com velocidade angular . (a) Obtenha a segunda lei de Newton para as coordenadas e do disco visto por mim em pé sobre a mesa giratória. (Certifique-se de incluir as forças centrífuga e de Coriolis, mas ignore a rotação da Terra.) (b) Resolva as duas equações usando o truque de escrever e sugerindo uma solução da forma . [Neste caso - como no caso do movimento harmônico simples criticamente amortecido, discutido na Seção 5.4 - você obtém apenas uma solução por este caminho. A outra solução tem a mesma forma de (5.43) que determinamos para a segunda solução do movimento harmônico simples.] Obtenha a solução geral. © No instante , impulsiono o disco da posição , 0 ) com velocidade (todas medidas por mim sobre a mesa giratória). Mostre que
(d) Descreva e esboce o comportamento do disco para grandes valores de . [Sugestão: quando é grande, os termos proporcionais a ele dominam (exceto no caso em que ambos os seus coeficientes são zero). Com grande, escreva (9.72) na forma , com uma expressão similar para , e use o truque (5.11) para combinar o seno e cosseno em um único cosseno - ou seno, no caso de . Então, agora você pode lembrar que a trajetória é o mesmo tipo de espiral, qualquer que seja a condição inicial (com a exceção mencionada).]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um disco sem atrito que está girando numa mesa horizontal com uma certa velocidade angular . A gente vai precisar aplicar a segunda lei de Newton usando coordenadas e no referencial que está girando com a mesa. Para isso, vamos considerar forças fictícias como a centrífuga e a de Coriolis. Vamos resolver passo a passo para entender bem cada parte.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele vezes a aceleração: . Mas como estamos no referencial que está girando, precisamos incluir as forças fictícias que aparecem nesse sistema.

Passo 3

Em um referencial giratório com velocidade angular , além das forças reais, surgem duas forças fictícias importantes:
  • Força Centrífuga: Age para fora, proporcional à distância do centro de rotação. Ela é dada por í.
  • Força de Coriolis: Atua perpendicularmente à velocidade do objeto em relação ao referencial girante. Ela é dada por .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton considerando essas forças fictícias. Se denotarmos as coordenadas do disco por e , temos para cada direção:
Para o eixo :
Para o eixo :
Aqui, e são as acelerações nas direções e , respectivamente.

Passo 5

Agora, vamos seguir para a parte (b) do exercício, onde precisamos resolver essas equações usando uma substituição complexa. A ideia é combinar e em um número complexo e sugerir uma solução da forma .
Substituindo na equação de movimento, vamos encontrar os valores possíveis de que satisfazem as equações diferenciais.

Passo 6

Após realizar as substituições e resolver para , encontramos que a solução geral para pode ser escrita como:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 7

Separando as partes reais e imaginárias, obtemos as expressões para e :
Essas são as soluções para as posições e do disco ao longo do tempo.

Passo 8

Para a parte (d), queremos descrever o comportamento do disco para grandes valores de . Observando as soluções obtidas, percebemos que os termos que crescem linearmente com vão dominar o comportamento do sistema quando é grande.
Podemos reescrever as expressões de e da seguinte forma:
Usando o truque de combinar seno e cosseno em um único cosseno (ou seno), podemos simplificar as expressões e notar que a trajetória do disco tende a formar uma espiral conforme aumenta.

Resposta

Resumindo, as soluções para a posição do disco são:
Para grandes valores de , o disco descreve uma trajetória em espiral devido aos termos lineares multiplicados por funções trigonométricas.

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